2.2.1 椭圆的标准方程教学设计实例

《椭圆的标准方程》教学设计——张红梅

《椭圆的标准方程》教学设计

学

校

姓名

授课类型

张红梅

新

授

课

新疆独山子第二中学

授课班级

课

时

高二年级

1节（45分钟）

一、教材及教学内容分析：

1．使用教材：普通高中课程实验教科书《数学》选修2-1。

2．教材处理：本章的第一部分椭圆，共需二节课讲授，本次课讲授第一课时内容。

椭圆的定义； 第一课时：

椭圆的标准方程；

椭圆的形状；

第二课时：

椭圆的几何性质。

3．教学内容：椭圆的定义及椭圆的的标准方程第1节。

4．内容分析：本课时是概念性教学，对于圆，学生是非常熟悉的，而从椭圆开始，到双曲线、抛物线，对学生来说，都不是很熟悉的；又因为对双曲线、抛物线的学习过程，都可以仿照学习椭圆的过程进行，对椭圆概念的掌握好坏，不光会影响对它本身的性质的掌握，而且直接影响对双曲线、抛物线的学习效果。其次,椭圆方程的标准形式与后继课程中的双曲线方程有容易混淆的地方，对它的特点不清，也会影响对双曲线的掌握。所以说本节课在《平面解析几何》中，占据极其重要的地位。

二、教学对象分析：

1、知识技能：学生已经学过圆的定义和标准方程，对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)，在“圆的方程”一节中有过一次感性认识。但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受，缺少理性的思考；

2、学习能力和态度：学生对学习数学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱；学生“听”的能力较差，抽象思维水平较低，但习惯于直观性较强的学习方式。

三、教学目标：

知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；掌握椭圆的标准方程的概念，明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；能根据椭圆标准方程求焦距和焦点,初步掌握求椭圆标准方程的方法。

能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力,在进一步培养学生数形结合和化归的数学思想方法的过程中，提高学生的学习能力。

情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣；培养学生勇于创新的精神,数学审美的能力，以及数与形对立统一的辩证唯物主义思想。

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《椭圆的标准方程》教学设计——张红梅

四、教学重点与难点：

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程。

难点：椭圆定义中焦距与长轴的大小关系，以及椭圆焦点分别在X轴和Y轴上时的方程形式的区别与联系；椭圆标准方程的推导。

五、教学方法及学法指导：

教学方法：探究、讨论的教学方法、情境教学法、归纳法、范例教学法。

学习方法：类比法、数形结合法、化归方法、小组讨论的方法。

六、教学用具：

多媒体课件、黑板、大屏幕投影

七、师生互动

过程

教

学

内

容

新课导入：

1、

通过课件演示地球的运动轨迹；

教

师

活

动

⑴利用大屏幕创设情景，在黑板上板书本节课题：13.1椭圆学

生

活

动

⒈观察计算机的演示，仔细思考老师提出的问题；

⒉学生进行发散性思维；

⒊

思考后回答问题（可能的答案有鸡蛋、压扁的圆、汽车上油罐的横截面

……）。

教

学

意

图

①利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深概念理解。

②使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，为后续学习做好准备。

的标准方程：

导

入

新

课

地球

太阳

金星

⑵提出问题，启发引导学生积

极思考；

⑶更正学生的错误答案（鸡蛋一头大，一头小，不符合椭圆的情况）。

（提问学生，它们的运动轨迹是什么图形，举出生活中椭圆的实例）；

2、给出椭圆画法的图片（如下图），并通过课件演示椭圆的形成过程，思考椭圆的形成过程。

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过程

教

学

内

容

椭圆的定义：

1、

归纳，形成概念：

在椭圆形成的过程中，哪些量是固教

师

活

动

⑴创设一些学生感兴趣的问题情境；

⑵对学生的作答情况进行点评；

⑶总结椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是学

生

活

动

⒈认真观察计算机的演示；

⒉进行讨论分析，根据讨论的结果，回答老师提出的问题；

⒊归纳总结椭圆的定义；

教

学

意

图

①引导学生把圆的定义与椭圆的定义进行类比；

②注重概念形成过程，通过一个个的问题，使学生的整个学习过程成为“猜想”，让学生从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力。

③在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。

新

课

讲

授

定不变的？哪些量是变化的？你能否发现动点运动的某些规律？

让学生寻找在已知两个定点条件下的有规律的动点运动，从而得出椭圆的定义。

2、巩固概念：为什么常数要大于|F1F2|？不大于会如何？

常数（大于|

F1F2|）的点的轨迹。

⑷

板书：

一、

定义：

⒋对椭圆的定义进行深层次的思考。

│PF1│+│PF2│=常数（大于│F1F2│）＝2a 焦点F1、F2 焦距│F1F2│＝2c

椭圆的标准方程：

1、

推导过程：

取过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系。

F1F2⑴建立直角坐标系，强调其美⒈认真听讲，积极思考，仔细观察；

①教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

y P观性；

x

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过程

教

学

内

容

设椭圆的焦距│F1F2│为2c（c>0）、常教

师

活

动

⑵利用幻灯片

学

生

活

动

教

学

意

图

②利用“范例教学法” 主张由例到理，即由个别典型事例的特点推断出同类事物的普遍特征，以c=4，a=5为例来求椭圆的方程，根据结果得出椭圆数为2a（a>c），则F（、F（。演示椭圆标准1-c,0）2c,0）我们以c=4，a=5为例来求椭圆的方程。方程的推导过新

课

讲

授

点P（x，y）是椭圆上任意一点，

根据椭圆的定义可得：

│PF1│+│PF2│=10 程；

⑶创设一些学⒉一边认真听(x4)2y2(x4)2y210

生感兴趣的问讲，一边思考，在一般情况下的标准方问：你能否使方程更美一些？

化简得

题情境，采用启或个别讨论；集程，在教学内容上突出基本性、基础性和范例性；

③在化简方程时，让学生体会数学美中简洁性和对称性，来突破难点，体现对称的思想；

xy1

2592222发式提问学生；

体回答或个别

222回答问题；

⒊通过思考、分

⑷引导学生注意观察，对比归纳椭圆的标准方程中a、b、c注意：9=5－4设b=3则acb（a>c>0），

根据结果得出椭圆在一般情况下x2y2的标准方程方程：221

ab(a>b>0) 。

222析，回答问题，

把椭圆标准方程中的a、b、c的关系与勾股

④按学生思维的方式，由问：等式acb与我们学过的什之间的关系。

么公式相似？它们的区别是什么？

若以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴，

则椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆的标准方程为：F2P

⑸通过类比的方法，推导焦点在y轴的椭圆定理进行类比，易到难组织教学，逐层剖注意区别在椭圆的标准方程中是a 大。

⒋通过观察，发现的新知识点；

析，利于学生全面掌握。

y x F1的标准方程；

⑹以激励的语言鼓励学生积极回答问题，并对学生的回答进行归纳；

y2x21 (ab0)

a2b2

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过程

教

学

内

容

2、小结两种类型的椭圆方程：

比较椭圆的焦点分别在X轴上与Y轴上的两个图象，通过学生讨论，类比它们

教

师

活

动

学

生

活

动

教

学

意

图

①通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。

②通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；

③通过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解。

⑴巡堂指导学⒈按照教师所提生思考、分析；

出的要求进行思考；

⒉借助图形的直观性，利用类比的方法进行讨论，分析焦点在⑵引导学生进行讨论，分析两种类型的椭圆方程的异同点；

X轴上与Y轴上两种方程的标准形式的区别与特点，得出结论；

新

课

讲

授

方程的标准形式的区别与特点，对比总

结。

问：如何根据标准方程，判断焦点位置？（看大小）。

⑶根据学生回答

x2y2焦点在X轴：221(ab0) ab的情况，将结论⒊学生回答讨F1（-c,0）、F2（c,0）

进行板书；并给出根据标准方程判断焦点位置的方法；

论结果，其他学生认真倾听、积极思考；

y2x2焦点在Y轴：221(ab0) abF1（0,-c）、F2（0,c）

【关系】c2a2b2

根据标准方程判断焦点位置的方法：看大小。

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《椭圆的标准方程》教学设计——张红梅

讲授例题：

⑴引导学生分【例1】(1)已知椭圆的方程为： 析题目，并对完22⒈例1由学生自主分析，独立①通过变式训练来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性；

xy1，则a=_____，b=_______，成情况给予点完成；

2516c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________。

评；

⒉一边认真听

x2y2(2)已知椭圆的方程为1， 45

则a=____，b=___，c=_____，焦点坐标⑵注意讨论的为：__________，焦距等于____;曲线根据情况上一点P到下焦点F1的距离为3 ,则点进程，P到另一个焦点F2的距离等于_____ ，作出及时的指则△ F1PF2的周长为______. 导或提出新的 (分析后显示过程) 形成性练习：课本：练习

要求；

【例2】求满足下列条件的椭圆的标准

方程:

1）满足a=4 , b=1，焦点在X轴上的椭

圆的标准方程为___________ 2）满足a=4,c= 15 ,焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为____________.

【例3】动点P到两定点F1(-4,0)，

F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为_____,

【例4】两个焦点的坐标分别是 (-4,0),(4,0),椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；

随堂练习：

1.请回答下列椭圆的基本量:a、b、c及椭圆的焦点坐标：

（见课件）

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讲，一边思考，

同学之间相互讨论、辨析；

②让学生扮演教师的角色，体验命题心理，培养主动梳理、运用知识的意识和数学语言表达能力；

③通过例2这道题考察学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力.

⑶对学生的出

题结果，做好引

导和评判，以防离题太远。

⒊读题、分析题意，回答解题过程；

《椭圆的标准方程》教学设计——张红梅

过程

教

学

内

容

1．填表：

方程

教

师

活

动

⑴幻灯片列示填表内容；

⑵布置书上内容，来巩固新知识；

⑶课堂巡视了解，检查学生形成性练习完成的情况，将完成学

生

活

动

⒈通过观察尝试，完成表格的内容；

⒉对存有疑问的地方前后讨教

学

意

图

①以表格的形式更利于两种类型的椭圆方程的比较，强化概念；掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法。

形

成

性

练

习

x2y2x2y21

1

9449

焦点

位置

a

b

c

焦点

坐标

到两焦点

的距离和

论，发现问题；

②同步练习，检测学生的

⒊进行对比，模仿完成书上练习。

掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；

③加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养。

⒈归纳整理后回答教师的提问。

⒉用所体会到①使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，帮助学生从感性认识升华到理性认识,同时培养学生宏观掌握知识的能力；

②让学生把课堂教学传

结果在实物投影仪上演示；

⑷对普遍存在形成性练习：课本：练习 的问题进行重点讲解。

1．两种类型的椭圆方程的比较（注意板书内容）

⑴启发引导学生进行归纳整2．总结判断焦点位置的方法。（看大小）

理；

x2y21（m>0,n>0）

mn

⑵利用幻灯片归

纳

小

结

mn焦点在x轴

mn焦点在y轴展示归纳结果；

的知识与教师

⑶对学生主动学习的态度及引导讲解的内容结合起来，形成自己的认识。

授的知识尽快化为学生的素质,使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

方式给予肯定；

⑷强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度。

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过程

教

学

内

容

A组:教材：

教

师

活

动

⑴说明作业的要求：

⑵可按自己的学习能力选做A组题或全部完成。

学

生

活

动

一边听说明，一边作记录。

教

学

意

图

①体现分层教学的思想，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。

②A组题：了解学生对本节内容的基本掌握情况；

B组题：使学有余力的学生对本节内容的再提高。 布置作业

2、

3、

B组:在绳长不变的情况下，两定点间距离变长或变短，椭圆的形状有什么变化呢？

八、板书设计：

电脑投影屏幕

§13.1椭圆的标准方程：

一、定义：

│PF1│+│PF2│=常数（大于│F1F2│）＝2a 焦点F1、F2 焦距│F1F2│＝2c 二、标准方程： x2y2焦点在X轴：221(ab0)

aby2x2焦点在Y轴：221(ab0)

ab【关系】abc

222

九、教学后记：

通过本节课的学习，80%的学生能够掌握椭圆的定义和椭圆的标准的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；能根据椭圆标准方程求焦距和焦点。60%的学生能够掌握椭圆定义中焦距与长轴的大小关系，以及椭圆焦点分别在X轴和Y轴上时的方程形式的联系，这需要在今后的教学中不断加强相关内容的学习。

1.通过直观的课件演示，大部分学生能对新知识有一个较好的认识。

2.采取讲练结合的方式，让学生在做中学，我感觉学生的学习兴趣比较浓厚，教学效率有所提高。

⒊形成性练习的分层次，给予了学生自由选择的空间，学习能力较强的学生可以较快的写成A组和B组的练习。

⒋部分学生仅能完成A组题的练习，而且完成效果不够理想，仍需加强巩固。

尽管在整体的学习上，学生仍习惯被动的接受式学习，但通过这一节课让学生显露出的潜力，仍然让我对教学充满了期待。也使我更了解我的学生，更清楚应该如何上好一节课——就是让学生在做中学。

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教师板演小组代表分析的过程及结论

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八、教学流程图：

开

始

教师创设问题情境

学生思考、观察

课件演示：

问题导入

并回答问题

椭

圆

定

义

学生讨论、回答

课件演示：

问题启发

椭

圆

的标准方程

教师总结、板书

课件演示：

坐标系的建立

课件演示：

方程的推导

小结两种类型的椭圆方程

课件演示：

讲解例1 自主完成、变式练习

讨论出题

学生分析

课件演示：

讲解例2 教师引导、提示

形成性练习

小结、布置作业

结

束

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