6.4 反三角函数优秀教学设计

6.4反三角函数（1）——反正弦函数

一、教学目标设计

1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx， x∈[-，]有反函数；22，]. 22理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[- 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像. 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 二、教学重点及难点

教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.

教学难点：反正弦函数yarcsinx,x1,1的产生和从本质上处理正弦函数ysinxxR的反函数问题. 三、教学过程设计

一、

情景引入 问题1：sinx1，x,，求x。

2221问题2：sinx，x,，求x。

322问题3：yx2有反函数吗？什么条件下具有反函数？

问题4：反函数存在的条件是什么？

设计说明：首先让学生产生问题，然后让学生复习反函数存在的条件，为引入反正弦函数做准备。

问题5：正弦函数ysinx,xR上有没有反函数？

问题6：怎么改变定义域才能使ysinx具有反函数？

设计说明：在复习反函数的基础上，让学生讨论正弦函数是否有反函数，如果没有怎么改变定义域才能使正弦函数具有反函数，可以促使学生理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，]。

22二、学习新课

1．概念辨析

（1）反正弦函数的定义：

函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]，

22y,。

22问题6：现在同学们可以解决问题2吗？

问题7：y=arcsinx，x∈[-1，1]是正弦函数的反函数吗？是哪个函数的反函数？

问题8：反正弦函数的两个变量x,y表示什么含义？

设计说明：问题5和问题6主要是帮助学生理解反正弦函数的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，代表角的正弦值，值域是y,，代表一个角的大小。

22（2）反正弦函数的性质：

①图像

21yy=arcsinxy=x

y=sinx

o21x

②定义域[-1，1] ③值域[-，] 22 ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] ⑤单调性：增函数

设计说明：研究反函数的性质可以通过研究原函数的性质得到（转化思想），原函数和反函数图像关于yx对称，从而可以得到反正弦函数的图像，根据图像可以观察到反正弦函数的性质。

2．例题分析

例1．求下列反正弦函数的值：

（1）arcsin33；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）

22设计说明：使用计算器或者把反正弦函数转化成正弦函数来做题，体现了转化思想，可以帮助学生熟练计算特殊值的反正弦函数值。

例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：

（1）sinx=31，x∈[-，]；（2）sinx=-，x∈[-，]；

422225331

，x∈[0，π]； （4））sinx=-，x∈[，] 2425（3）sinx=

设计说明：第一和第二小题是让学生熟悉用反正弦符号表示x∈[-，]的角，第二和第22三是在理解的基础上用反三角函数表示x想。

例3.化简下列各式; ,的角的大小，在此要用到数形结合思22（sin(1)arcsin9) (2)arcsin（sin411) (3)sin(arcsin) (4)sin(arcsin)

523设计说明：第一题当x（sinx)x，当x,时，可以利用,时，arcsin2222（sinx)arcsin(sinx)x，,，则arcsin22转化思想找到sinxsinx，使得x第三第四个问题是帮助学生理解sin(arcsinx)x,x1,1

三、课堂小结

1.

反正弦函数的概念

2.

求某些特殊值的反正弦函数的值

3.

用反正弦函数表示某个区间上的角

（sinx)x，x4.

sin(arcsinx)x,x1,1；arcsin5.

转化思想与数形结合思想

四、课后作业

,

22