6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质优质课教案

课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

上海市进才中学

张松

【学情分析】

作为高考备考阶段，高三数学课堂体现出节奏快，容量大的特点，以复习巩固基础知识，解决数学问题、提炼并运用思想方法为主要目标；另一方面，授课对象为市重点学校高三学生，整体来说数学基础扎实，处于中上水平，因而需安排目标明确、方法多样的教学内容，充分发挥学生课堂主体地位，调动学生学习兴趣，同时培养数学思维能力，提升数学素养。

【教学分析】

上海市中小学数学课程标准对本节课内容的要求为：借助多种教学媒体，研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象，再讨论函数的性质，进一步领会分解与组合的思想方法。知道A、ω、φ的物理意义及其对图象的影响。（关于一般正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的研究不作要求。）了解三角函数的实际应用。

本节课定位为高三专题复习课，重点在于将函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质运用于解决数学问题而非生活实际问题，并以解决高考真题作为本节课的终极目标，帮助学生全力备考。

【教学目标】

一．知识与技能：

1.熟练掌握三角函数图像五点作图法，及正余弦函数到y=Asin(ωx+φ)图象变换方法；

2.巩固加深对函数y=Asin(ωx+φ)中各参数的理解，及其对函数图象

的影响，掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质；

3.能利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质，及其作为函数的性质解决综合性数学问题，利用图象与表达式的密切联系完成其两者的转化，体会数形结合思想、函数与方程思想在解决问题中的广泛运用。

二．过程与方法：

通过动手实践作出函数图像，复习作图方法，并培养操作能力；利用已有的知识经验，自主进行探索和尝试解决新情境中的数学问题；动手实践与讨论学习相结合，培养独立思考能力与合作学习意识，锻炼数学交流与表达能力。

三．情感态度与价值观：

在创设的问题情景中动手操作，激分析、探求的学习态度;本节的学习中，深化数形结合思想及函数与方程思想在解决问题中的应用，培养缜密的逻辑思维能力，感受数学的严谨和灵活，体会数学中的美。

【教学重难点】

重点：

五点作图法和图像变换方法；

函数y=Asin(ωx+φ)中各参数A、φ、ω、ωx+φ的含义；

函数y=Asin(ωx+φ)的性质；

利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质解决综合性问题。

难点：能利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质解决综合性问题。

【教法】

学生动手画出三角函数图像，结合多媒体演示，使学生经历动手实践的过程，获得直观感知的体验。为达到本节课最终学习目标，将知识难点层层分解，扫除知识点障碍后，学生自主尝试解决有难度的高考题目，再由变式问题激发学生进一步思考，从而运用所学知识灵活解决问题。

【教学准备】

粉笔，板擦，笔，学案(课前分发)

函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

π)图像。

31.

在坐标纸上画出函数y=2sin(2x+

2.

由函数y=sinx图像，如何变换得到y=2sin(2x+

π)的图像？

3π3.

由函数y=cos2x图像，如何变换得到y=2sin(2x+3)的图像？

f(x)=sin(2x+φ)为偶函数，则φ的取值为______. 4.

5.(2013•上海)已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω＞0.

（

1）若y=f(x)在[-π2π,]上单调递增，求ω的取值范围；

43（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)

的图象，区间[a,b](a，b∈R，且a

作业：6.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内当x=

π1时，取最大值，当92x=

4π1时，取最小值-，则该函数的解析式__________. 92

【教学过程】

一．复习（10-12min）

1.在坐标纸上画出函数y=2sin(2x+)图像。（2min）

提问或展示一名学生答案，点评。PPT展示由几何画板所作图象。π3

结合图像说明：

2πA振幅，决定函数最大或最小值；ω与周期相关，T=，决定图像ω是“瘦高型”还是“矮胖型”；φ：初相，函数自变量为零时取值；ωx+φ：相位

[设计意图：复习函数y=Asin(ωx+φ)图象作法：五点作图法，复习函数中参数A、ω、φ、ωx+φ的意义及其对函数图像的影响，引导学生初步由研究函数图象过渡到研究函数性质。] 2.由函数y=sinx图像，如何变换得到y=2sin(2x+)的图像？

说明：因参数A对图像影响较容易理解，先将函数值y扩大两倍，重点研究ω、φ对图像的影响。

π3

法一：

1π先伸缩后平移：纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个26单位。

法二：

先平移后伸缩：先向左平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的。

[设计意图：复习正弦函数y=Asin(ωx+φ)图像变换方法，区分“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种方法的不同之处，帮助学生进一步理解函数y=Asin(ωx+φ)的性质。]

二．巩固运用(25-30min)

师：学习中是否遇到其他类型相似的问题？上述变换中，正弦函数还可以变成什么三角函数？请例举几个。

（预设：y=cosx→y=2sin(2x+)，提问，点评，阐述方法，可先将余弦函数平移得到正弦函数，得到同名函数，再重复2题过程，也可画出两函数图像进行对比）

3.

由函数y=cos2x图像，如何变换得到y=2sin(2x+)的图像？

留2-3min思考，提问2名学生，点评。

π3π3π312ππy=cos2x=sin(2x+)=sin[2(x+)]法一：

24ππ

y=2sin(2x+)=2sin[2(x+)]36

πππ-=4612π即：向右平移个单位12

此法对应图像：

1g(x) = cos(2∙x)0.5f(x) = sin2∙x + (π3)3π4ππ3π4π2π4O0.511.5π4π2

法二：设平移t个单位。

y=cos[2(x+t)]=cos(2x+2t)=cos2xcos2t-sin2xsin2t

πππy=2sin(2x+)=2(sin2xcos+cos2xsin)366ππ2cossin2t∴2t=2kπ-,t=kπ-，k∈Z6,612

2sincos2t6[设计意图：复习正余弦函数图象及性质，灵活运用五点作图法、图像变换及两角和的正余弦公式，通过图像法与代数法对比，帮助学生强化记忆三角函数性质。]

4.

f(x)=sin(2x+φ)为偶函数，则φ的取值为______. 留2-3min思考，请两位方法不同的学生板书。

πsin(2x++kπ)=±cos2x法一：2k,kZ

2

f(x)=f(-x)法二：

sin(2x+φ)=sin(-2x+φ)k2,kZ

法三：

φf(x)=sin(2x+φ)=sin2(x+)2π2

=

π

，

T

=2φππ=(2k+1)⇒φ=kπ+,k∈Z

221.54

π10.5

π3π4π2π4O0.511.5π4π23π4π5π43π2[设计意图：复习函数奇偶性对应表达式和正余弦函数的奇偶性，结2合函数图像说明，帮助学生将函数图像与表示联系起来，渗透数形结合思想方法。]

5.(2013•上海)已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω＞0.

（1）若y=f(x)在[-,π2π]上单调递增，求ω的取值范围；

43（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区间[a,b](a，b∈R，且a

留空5-8min，2-3人讨论或独立思考，（1）题提问，点评。

（2）题共同讨论。

2π]上单调递增，且ω＞0，利用正弦函3T12π2π12ππ数的单调性可得=•≥，且-•≤-，解出即可；

44ω34ω4分析：(1)已知函数y=f(x)在[0,(2)利用函数图像变换法则“左加右减，上加下减”

得g(x)=2sin(2x+)+1.

令g(x)=0，即可解出函数g(x)零点，并得到相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a,b]至少有一个零点，即可得到a,b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值． 解答：

（1）∵函数y=f(x)在上单调递增，且ω>0，

312ππT12π2π≤-，解得0＜ω≤3. ≥∴=•，且-•4ω444ω34y

Oxx432x3（2）f(x)=2sin2x，把y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)= 2sin(2x+)+1.

PPT展示：

(2)

ω=2⇒f(x)=2sin2x左2sin2(x)66向上1个单3

g(x)2sin(2x)135π3π令g(x)=0，得x=kπ+,或x=kπ+(k∈Z). 1242sin(2x)1

∴相邻两个零点之间的距离为或说明：方程的解即零点的值。

741232．

323122133222214221432332333

51234171274

若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3,5,…,2m+1个零点，

从而函数g(x)在区间[a，14π+a]恰有29个零点，而在区间(14π+a，b]π至少有一个零点，

∴b-(14π+a)≥. 3另一方面，在区间小值为14+=355，

14++恰有30个零点，

因此b-a的最31212343. 考点：基本知识方面，考查正弦函数的单调性和周期性；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，函数零点与方程根的关系，由根的个数判断含参数区间的长度；数学能力方面，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．

拓展思考：题目所求可改变成什么？

30个零点改为100个？2017个？n个？

[设计意图：这道高考题为本节课点睛之笔，之前所作铺垫意在解决

此题，灵活运用正弦函数周期性及单调性即可解决第一小题，第二小题重点在对两零点间距离的理解，由浅入深，由少到多，逐步过渡到最终所求结果，培养学生分析问题、解决问题的能力，锻炼其不急不躁、沉稳冷静的心理素质。]

练习：6.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内当x=时，取最14π1x=大值，当时，取最小值-，则该函数的解析式__________. 2921π答案：y=sin(2x+) 26π9[设计意图：课堂练习解决了由函数表达式到函数图像的问题，此题属于根据函数图象写出表达式类型，作为课堂内容的初步运用，帮助学生完善知识框架。] 三．小结、作业

小结：

1.

五点作图法；

2.

函数y=Asin(ωx+φ)中参数A，ω，φ意义，即对函数图像的影响；

3.

图像变换：

函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≠0)图像与函数y=sinx图像的关系：

1）平移变换：把函数y=sinx的图像上所有点向左平移φ个单位，得到y=sin(x+φ)的图像；

12）周期变换：把函数y=sin(x+φ)的图像上所有点横坐标变为原来的ω倍，得到y=sin(ωx+φ)的图像；

3）振幅变换：把函数y=sin(ωx+φ)图像上所有点纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≠0)的图像。

作业：

方略141页4；142页例1、例2；154页17. 【板书设计】

函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

2.

3. 4.

法一

法二

5.

1）

2）

【教学反思】

教学目标及重难点方面比较符合学生及教学实际，问题主要存在于教学过程中，经过深入思考，总结有以下几点：

1.

课堂开始复习基础知识不够详细彻底，导致基础薄弱的学生可能没法完全回忆本节课所需知识，不利于接下来习题解决环节的学习；

2.

本节课大半部分时间用于解决层次递增的练习，越到难度大的题目，留给学生思考的时间应该越多，而我忽视了这一点，担心内容上不完，就缩短了学生独立思考问题的时间，下次应注意学生的学***与能力，酌情而定；

3.题目讲解略草率，学生难以理解的地方没有透彻说明，对于基础知识掌握不牢固的学生就会造成认知障碍，因此学生的“最近发展区”需在接下来的实践经验中给予极大关注。