5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切教案3

学校

科目

洋泾中学

年级班级

数学

高一（2）班

周孝芳

执教时间

2017.3.2 第

1 课时

课题

5.4.1两角和与差的余弦

本节课教学内容是高一（下）第五章5.4节第一课时（两角和与差的余弦）。本节课主要讲授运用平面内两点间的距离公式推导两角和与差的余弦公式，并能对该公式进行简单的求教材分析

值、化简和证明运用。本节内容是三角恒等式的起始课，是对前面诱导公式等知识的延伸，也是本章中一系列的三角恒等式的基础，同时它又是两角和、差、倍、半角等公式的源头。本节内容对三角变换、三角恒等式的证明和三角式的化简、求值等三角问题有着重要的支撑作用。因此学生必须扎实掌握两角和与差的余弦公式。

学生已学习过如何运用三角比来表示单位圆上的点的坐标，在构造角后进行推导证明时会比较容易。此外，由于学生对三角公式不擅长死记硬背。因此，需要让学生理解两学情分析

角和与差的余弦公式的推导，从本质上上理解公式的由来。因此，本节课的重点主要是对两角和与差的余弦公式的推导而非太多的公式应用。此外，学生的计算能力较弱，本节课也是5.4节的第一课时，要求学生能应用公式进行简单的求值、简化即可，综合运用可留到下节课。

1.理解两角和与差的余弦公式的推导过程；掌握和运用两角和与差的余弦公式解决一些简单的三角式的求值、简化和证明问题。

教学目标

2.通过公式推导的过程，形成严密准确的数学思维方法；通过对公式的双向运用，提升转化思想和化归能力。

3.通过学习、观察、对比，体会公式的对称美；提升探求公式的兴趣，增强勇于探索创新的精神。

重点：两角和与差的余弦公式的推导

难点：掌握和应用两角和与差的余弦公式

解决措施：

两角和与差的余弦公式的推导是本节课的重点。可以通过设置问题情景，提出如何用两教学重难点分析及解决措施

角的三角比表示两角差的余弦三角比。在猜测公式和实例检验的过程中激发学生探求公式的兴趣，在具体的推导过程中，引导学生想到借助单位圆来研究任意角三角比的基本方法，运用数形结合完成推导。

掌握和应用两角和与差的余弦公式是本节课的难点。在得到公式之后，需要观察和总结公式的特点和规律，便于记忆。在练习时要注意公式的逆用和其它变式的求值及化简问题，应用所学的公式证明三角恒等式的练习在本节课中不宜太难。

教学设计

教学环节

活动目标

教学内容

活动设计

师：我们已知一些特殊角的余弦值，如在三角比的计算和化简中，常要用角课题引入

通过实例明确两角和的余弦计算不满足分配律

、的三角比来表示角

cos6012、cos45，那cos15怎么计22或

角的三角比。但

算呢？等式cos15cos6045cos60cos45是否成立？

生：不成立。【通过判断等式两边三角值的正负号】

cos()coscos

师：所以cos()coscos，即余弦运算不满足分配律。那么对于任意角、，的余弦如何用和的三角比来表示呢？这正

是我们今天要研究的内容。【揭示课题：两角和与差的余弦】

1.复习诱导公式

复习回顾

通过复习新课的推进做准备。

表示以及平面内两点间的距离公式

复习诱导公式、单位圆中点的坐标的2.画出一个角的正弦、余弦线，并表示该点坐标。

3.如果角α的终边与单位圆相交于点P，点P的坐标如何用角α的三角比的值表示？

4.写出平面内两点间的距离公式。

1．两角差的余弦公式：

师：设、是两个任意角．在直角坐标系的单cos()coscossinsin位圆中作出两角、，射线OA、OB分别为

它对任意角和都成立。

理解两角差

公式的推导过程：

证：Acos,sin，其终边，与单位圆相交于A、B两点，如图（1）所示。将角的终边OA、OB都绕O旋转角，分别转到OyA和OB的位置，如图（2）所示：

y

O

讲授新知

与和的余弦公式的推导过程

(cos,sin)AB(cos,sin)A'(cos(),sin())xBcos,sin

AB(coscos)2(sinsin)22xO

图（1）

图（2）

B'(1,0)22(coscossinsin)

2AB[cos()1]2sin2()

师：旋转前后存在哪一个隐藏的等量关系呢？

22cos()

因为|AB||AB|，所以有

生：因为AOB绕O旋转角得到AOB，所以|AB||AB|【板书两角差的余弦公式的推导过程，并指出公式适用于任意角、】

cos()coscossinsin

能简单应用两角差的余弦公式公式，解决引入时的问题

加深学生对两角和与差公式的正向应用

例1．计算：cos15。

【解：cos1562】

4【说明】可以选择不同的角，例如

cos15cos(6045)cos(4530)

2.两角和的余弦公式

cos()coscossinsin

师：根据、的任意性，能否运用已得到的两角差的余弦公式得到cos的值？

【请学生回答自己的观点，对于回答错误的学生可引导其思考角的任意性，应用代换的思想】

变量替换思想的理解

学习、观察、3.两角和与差的余弦公式在结构上的对比体会公特征：两角和与差的余弦公式都为同师：两角和的余弦公式与两角差的余弦公式在结构上有什么异同？

【从展开式的项数、每一项的构成成分、每项间的运算符号等方面分析】

例2：计算

（1）cos75

【解：

cos7562】

4【请学生上讲台板书】

【说明】可以选择不同的角及公式，例如式的对称美

名角乘积间的运算；但左右两边的加

能区别两角和与差的余弦公式的异减号互异。

两角和与差公式的正向应用、逆向应用

同；启示学

生公式应当会双向运用

cos75cos(12045)cos(4530)

22（2）cos15sin15

巩固提升

【分析学生可能出现的几种繁琐的运算方法，体现两角差的余弦公式逆用的简便】

例3．化简：（1）cos(60)cos(60)

【请学生回答，这是对公式运用的进一步巩固】

（2）cos()cossin()sin

【解：原式cos()cos，引导学生将看成一个整体，原公式中的、有可能是由其他角的复合运算组成】

（3）13cossin

2213与的变形，角度不唯一】

22【注意

简单运用公式进行恒等式的证明，为引出下节课的诱导公式做准备，同时让学生认识到两角正余弦三角比的互换：

cos(例4：证明下列恒等式

（1）cos()sin；（2）sin()cos

22【让学生自行运用两角差的余弦公式进行推导证明，注意直接应用（1）小题的结论推导（2）时，以2)sin；

sin(2)cos；

2代换】

1】

2练：cos50cos10cos40sin10【解：

和与差的余弦公式的重要性。

巩固新知

求cos()或cos()需知例5.已知sin【结合恒等式对两角差的余弦公式的简单应用】

cos，sin，cos，sin

54,,，cos，1352且是第三象限角，求cos()的值。

【解：63；先分析清楚求什么？已知什么？未知65什么？怎么求？注意角度的取值范围。】

1.数学知识：两角差的余弦公式cos()coscossinsin；

小结归纳

两角和的余弦公式cos()coscossinsin；

2.数学思想：在推导公式构造角度时采用了数形结合思想，并在证明和应用公式过程中进一步熟悉了代换思想，化归思想始终贯穿于整个教学过程中。

1.求值：（1）cos105；

（2）cos(45),其中sin1；

2（3）cos80cos50cos10cos40；

2.化简：（1）cos()cos()；

44（2）22cossin

22（3）cos20cos(20)sin20sin(20)；

作业设计

3.运用例3的结果用tan或cot来表示tan(2),cot(2)。

4.证明下列恒等式：cos()sin；sin()cos

225.思考：如何运用下图来推导证明两角差的余弦公式？

如右图：设角的终边与单位圆的交点为P1，过点P作PA垂直于O，垂足为A，过点A作AB垂直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为C，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M。【提示：OM是的余弦线】

∴OM=

，OA=

，AP=

，

又∵OM=

+

=OA

+AP

=

coscossinsin

5.4.1两角和与差的余弦

OP1ACPB'M公式

板书设计

推导

例1

例2

例3

例4

例5