6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质名师教学实录

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）

【教学目标】

1、

能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的变化规律；

2、

通过五点法能正确作出正弦函数、余弦函数的图像，并能归纳图像的特征，及他们之间的关系；

3、

掌握正弦、余弦函数的最值、值域

4、

能通过函数的图像，确定与正弦、余弦相关函数的值域、最值

5、

在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。

【教学重点】

正弦函数和余弦函数的图像的形成和特征。

【教学难点】

正弦函数和余弦函数的图像的形成和关系，图像的变换关系。

【教学用具准备】

多媒体设备

【教学过程】

一、复习引入

（1）复习单位圆中的正弦线和余弦线

设点P为单位圆上任意一点，POX的一个角为x，Q为点P在x 轴上的投影，则有向线段QP的长是对应x的正弦线，有向线段OQ 的长是对应x的余弦线。

二、学习新课

0 y P x

Q x 【概念形成】

对自变量x的取值类型（弧度制）和范围（R）进行讨论，得出正弦函数和余弦函数的定义，并给出相应的记号。

【图像研究】

1、正弦函数的图像

设计画正弦函数ysinx(0x2)的图像的方案(列表、描点、连线)。

利用sinx(2k)sinx(kZ)作出x[2,4]，x[4,6]，……及x[2,0]，x[4,2]……的正弦函数的图像。

（5）展示学生的作品，老师演示正弦函数的课件。

（6）归纳作正弦函数时的心得：



先确定五点（0，0），(2,0)，(,0)，(3,1)，(,1)；

22

再用光滑曲线连接，注意曲线弯曲特征；



通过图像平移得到其他范围上的图像。

2、余弦函数的图像

探究：我们已经有了正弦函数ysinx的图像，那我们如何得到余弦函数ycosx的图像？

（让学生小组共同探究）

学生可能的方法：

（1）受正弦函数的图像的影响，学生采取五点法描点作图；

（2）利用图像的平移，sin(x2)cosx，将正弦函数ysinx的图像向左平移个单位即可得2到余弦函数ycosx的图像。

小结：比较这两种方法，第二种方法不仅简单，而且在此方法上我们可以得到许多与正弦函数有关的函数的图像。

【概念应用】

【题目】作出函数y1sinx,x[0,2]的大致图像。

【解答】

x

0

0

1



21

2



0

1

sinx

1sinx

3

2－1

0

2

0

1

描点作图，图（略）

函数y1sinx,x[0,2]的图像也可以看作是由函数ysinx,x[0,2]的图像向上平行移动1个单位得到。

【题目】作出函数ycosx，x,的大致图像。

【解答】

x

－

－1

－

20

1



20



－1

cosx

0

描点作图，图（略）

注意根据定义域的取值范围作图。

【题目】求下列函数的值域

（1）y2sinx

（2）ysin2x

【解答】

（1）sinx[1,1],2sinx[2,2]，函数值域为[2,2]

（2）令t2x，ysint，函数值域为[1,1]

分析：1、应用正弦函数、余弦函数的值域、最值

2、应用换元方法化函数为自己熟悉的最简三角函数

【题目】求函数y2sin(3x【解答】

令t3x3)的最大值和最小值，并求使其取到最大、最小值的x的集合。

3，由xR可得tR

当sint＝－1时y2sint最大值为2 此时t2k332k7,kz，即3x＝2k,kz得x,kz

232318当sint1时y2sint最小值为－2 2k,kz，即3x＝2k,kz得x,kz

2323182k7,kz}

函数y2sin(3x)最大值为2，相应x集合为xx33182k,kz}

最小值为－2，相应xxx318此时t2k分析说明：遇到此类函数通常使用换元法，化繁为简化为自己熟悉的最简三角函数。

【题目】设函数（fx）=A+Bsinx，若B＜0时，（fx）的最大值是31，最小值是－，则A=_______，22B=_______. 【解答】1

－1. 23AB，2根据题意，由可得结论.

1AB2

【题目】求函数ysinxcosx的最大值和最小值

【解答】

ysinxcosx＝2sin(x令tx4)

4，y2sint最大值为2，最小值为－2

函数ysinxcosx最大值

为2，最小值为－2

【题目】函数y = 1 - sin x 的对称轴和对称中心分别是

_______________

【课堂小结】

引导学生总结，老师加以补充

1、正弦函数和余弦函数的定义

2、正弦函数和余弦函数的图像及其作法，了解简单的图像特征（有界性）

3、函数图像平移中的方法及注意点

4、正弦函数和余弦函数的最值值域

5、数形结合、换元等数学思想方法的渗透