6.4 反三角函数优秀教学设计范文

【学科】高中数学

《6.4反三角函数》（1）

同济中学

陆海峰

【课程标准的分解】

1、

理解反正弦函数的概念，会用反正弦表示角的大小.

行为表现

核心概念

反正弦函数的概念

行为动词

理解

通过呈现反正弦函数的概念产生和发展的过程.

解释反正弦函数的概念，会用反正弦表示角的大小. 表现程度

作出图像

说出性质

行为条件

表现程度

2、知道它们的基本性质和图像. 行为表现

核心概念

反正弦函数的基本性质和图像

行为动词

知道

通过正弦函数和反函数的概念，利用正弦函数的图像得出反正弦函数的图像及性质.

行为条件

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【教案设计】

一、学习目标

知识与技能：

1.理解学习反正弦函数的必要性；理解反正弦函数yarcsinx是函数ysinx,x[,]的反函22数而不是正弦函数的反函数；理解反正弦函数yarcsinx的概念，掌握符号arcsinx的含义，并会用以表示角；

2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质；

过程与方法：

通过深入理解反正弦函数的概念产生和发展的过程，

使学生进一步理解和掌握研究函数的一般方法，并能为后续的其他反三角函数学习提供思维方式

情感态度与价值观：

通过反正弦函数的学习，培养学生思维的严谨性，提高学生的数学推理能力、逻辑思维能力，自学能力以及勇于探索的精神. 任务分析：

反正弦函数是紧接着学习了三角函数之后的内容.反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用.特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用，因而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 遵循二期课改的“以学生发展文本”的理念，根据本校学生的特点：个性活泼,思维活跃,学习数学的积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，以及学生的现有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质，反函数等，我设计了这样的教学目标，使学生“学会学习、学会思考”，加强对数学概念的学习和理解. 二、学习重点难点分析

学习重点：认识和掌握反正弦函数的定义和基本性质，并能用以表示角

学习难点：1、理解反正弦函数概念产生的过程

2、掌握反正弦函数记号的具体含义，并能用以表示角

本设计是反三角函数的第一课时，反正弦函数的研究方法将对后续反三角函数的研究提供模板作用。

本节课要突破的难点之一是反正弦函数产生，通过问题串不断对学生追问，以问题驱动引导学生积极思考，从正弦函数有无反函数到在怎样的区间上有反函数，从对记号的引入到反正弦函数，从反正弦函数第

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的图像到反正弦函数的性质，问题步步深入，在此过程中使学生形成质疑精神，引导学生自己发现问题、解决问题，反正弦函数的概念通过多角度的思考，使得学生真正理解和掌握. 本节课要突破的难点之二是反正弦函数符号的含义，通过从具体到抽象，帮助学生降低学习难度，以便顺利掌握反三角的符号并用以表示角. 三、学习时间

一课时

四、学习过程

学习教师活动

学生活动

环节/时间

活动我们今天学习的课题是反正弦函数.

一、

三角学起源于测量，而在测量的引入

实际计算过程中我们经常会遇到两类

相反的问题.一类是已知角值求三角函数值，这是我们学习过的三角函数. 而另一类相反的问题是已知三角函数值求角，如：如果锐角x的正弦值是备注

1，那么角x又如何表示呢？

3设计意图：教师提问、学生思考.从三角的发展出发，使学生知道引进反三角的必要性，提出问题，激发学生探究新知的欲望. 我们已学习过的正弦函数能解决这个问题吗？

正弦函数ysinx，角x是自变量，正弦值y是因变量，解决已知角x可以求正弦值y的问题,而现今已知正弦值y，求角x.如何用正弦值y表示相应的角值x？所以，我们要反过来，由正弦函数的因变量去确定自变量.即需要我们考虑反函数问题，在课前复习中，我们反函数的相关概念，明确反函数存在的条件必须是一一对应的.

活动（一）问题提出

问题1：（学生作答：答案是否定的.学生设计意图：

二、1.判断函数ysinx有没有反函说出理由：因为对于任一正弦值y都有无一问一答形式，新课

数？为什么？

数个角值x与之对应.正弦函数的自变量引导学生思考，

与因变量是多对一的.故而不存在反函参与概念的形

数.）

成，使学生明确反正弦函数并不2.那么你能否给出新的定义域D，使问题2（学生作答：有无数个区间，

得函数ysinx,xD有反函数？

是正弦函数的反如[2k,2k],kZ，

函数，而是而是2

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[2k2,2k3],kZ，2ysinx单调，函数ysinx，x,y一一对应，所以存在反函数）

3.请你找一个合理的区间作为定义域问题3（学生作答：[,]）

来定义“反正弦函数”！

22函数.

为什么？ （学生作答有锐角，有正有负，对称……）

,的反22为什么不选取[0,

2],[,]等？

（生答：选取[,]这个对称区间，角4422x与正弦值y一一对应，并且

[1,1]的任意一个正弦值y都有唯一角x与之相对应.研究这个区间的反函数既简单又不失一般性，通过诱导公式可以表示其他区间上的角.）

给出结论

所以，选取闭区间,，22ysinx在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. （二）反正弦函数的定义

ysinx,x,的反函数称22作反正弦函数.

记作：yarcsinx，x[1,1]

★(1)其中x表示正弦值，其范围即定义域为[-1,1]. ★(2)

arc sin x表示角，其范围即值域为,. 22yπ/2y=arc

sin

x1y=sin

x（三）研究：反正弦函数的图象与性学生作图

质

1、先根据函数,]的图象作出22反正弦函数yarcsinx，x[1,1]的图象.

ysinx,x[-π/2-11π/2x引导学生利用反函数与原函数之间的关系完成反正弦函数的图像，为反余弦函数图像学习提供方法依据.

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2、在根据图象得出相应的性质: 学生合作填写该表，得出反正弦函数的性质.

ysinx,x∈,

22yarcsinx

通过学生自主探究得出反正弦函数的性质. 定义域

值域

奇偶性

x,

22x1,1

y,

22y1,1

奇函数

奇函数（提高作业证）

代数特征：

arc sin (-x)=-arc sin x 单调性

周期性

最值

x,，y单调递增

22无

xx1,1，y单调递增

无

x1,ymin，2x，2ymin1

，

2ymax1

x1,ymax

2零点

x0

教师板演例1（1）

解：设arcsinx0

巩固知识，加深对概念的理解和应用. 【明确求角（1）求角；（2）活动例1: 求下列反正弦函数的值.

三、巩固31)arcsin 与应2用

2) arcsin0

3) arcsin3

2则sin1

23，

2又∵,,∴

3223

23,范围22内的角；（3）满足正弦值】. 即：arcsin学生作答（2）（3），注意格式. 例2：用反正弦函数值的形式来表示学生作答

下列各式中的x. (1) sinx设计意图：

11、

解决引入提（1）解：xarcsin

出的问题，引入3呼应；

11（2）解：xarcsinarcsin

2、

问题层层深33入，帮助学生加深理解反正弦函（3）解：∵x,，

22数所表示角的范围，超出范围的∴x,，

角必须转化成范22围内的角方能表1示,这样任意一个∵sin(x)sinx，

一直正弦三角比3求角的问题我们第

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1,x0,

3213,

22(2) sinx,x(3) sinx小结：

1,x,

32

1

★

⑴当角x,

时，角x可3221∴xarcsin

3以直接用反正弦表示

∴xarcsin都能解决. ★

⑵当角x超出此范围时，角x可以通过诱导公式转化成然后再用反正弦表示.

,的角，22这样我们就可以利用反正弦表示任意范围上的角，可以利用反正弦函数，求ysinx,x在其他单调区间上的反函数，我们留了一道分层作业，同学们课后试试看.

活动我们回顾一下今天这节课学习了什么学生总结

四、内容

课堂1、反正弦函数定义、图象、性质（定小结

义域、值域、奇偶性、周期性、单调性）

2、用反正弦表示角.

引导学生积极思考，养成总结的习惯，从这节课中不仅学到知识，更能从中学到研究问题的方法，为下节课学习余弦函数做准备. 作业分成三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，基础作业则是帮助学生检测上课学习情况，提高和探究不做统一要求，供学有余力的学生课后研究，在思想和方法上有所提升. 活动1、基础作业

五、

完成课本P108 练习6.4（1）1、2、作业3、4. 与评2、提高作业

价

3]的反

（1）求ysinx,x[,22函数.

（2）判断yarcsinx,x[1,1]的奇偶性，并证明. 3、探究作业

通过今天的学习，类似的去试试研究反余弦函数，解决这3个问题, ①余弦函数有反函数吗？②反余弦是ycosx在哪个区间上的反函数？③反余弦的图象和性质.

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【附教学反思】

《6.4反三角函数》（1）教学反思

——建构概念网络，促进概念理解

同济中学 陆海峰

《反正弦函数》是反三角函数的第一课时，是紧接着学习了三角函数之后的内容，作为基本初等函数之一，它对后继课程的学习有着重要的作用.特别是在其他反三角函数的研究中，反正弦函数有着模本作用，因而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.同时因为本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用.本节课是一堂概念教学课，如何促进学生对数学概念的理解和应用是本节课设计根本出发点. 设计之初预计学生对反正弦函数的产生过程会抱有疑问，对反正弦函数符号难以理解，所以采取“问题串”的方式层层递进，引导学生不断思考，真正体验反正弦函数概念的产生过程，对反正弦函数产生的必要性和合理性有自己的感性认识，效果较好.学生对反正弦函数的抽象符号有一定的困难，所以采用先具体，如先让学生计算反正弦函数的值：arcsin31,arcsin0,arcsin()，在计算过程中，熟悉三角和反22三角之间运算的转化，熟悉反正弦函数值所表示的角的范围，并能运用反正弦函数符号表示角，从而解决本节课引入提出的问题“已知sinx1,x(0,),求角x”.从具体到抽象再到具体这一过程让学生对概32念的理解会更加深刻,掌握也会非常的牢固. 当然，在实际教学过程中，也有未预见的问题，比如反函数的概念及性质这部分旧知学生已经基本遗忘，在研究反正弦函数的图像和性质时学生产生了一定的困难，但复习反函数概念和性质并不是本节课的重点，所以根据教学过程中所遇到的困难，对本节课的教学设计进行了调整，设计了一份简单的“旧知温故篇”的学案让学生课前5分钟完成，帮助学生回忆原函数与反函数图像和性质之间的关系。因而学生在本节课上能够自主研究反正弦函数图像和性质，不仅提高课堂的有效性，还进一步帮助学生理解反函数的概念和性质，并习以致用于其他反三角函数的研究. 这节概念课让我收获很多。学生对数学的畏惧和无所适从就是源于对数学概念的一知半解或不理解，促进学生对数学概念的理解和应用是每节概念课在设计之初就应思考的问题.而本节课“概念产生—概念性质—概念运用-概念升华”这个锁链使本节课环环紧密相扣，从问题出发，在原有的认知结构的基础上，衍生新概念解决问题，建构概念网络。这个建构的过程会让学生发现自己学习的内容并不是别人强加给他们，而是数学知识一种自然演进，是水到渠成的事情.使学生站在系统的高度，建构概念网络，初发现它们是那样盘根错节，又浑然一体，而到后来，愈来愈如“漫江碧透、鱼翔浅底”，知识好像在手心里，了若指掌，不再是那一堆瓦砾，那一片望而生畏的戈壁滩.

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【教作业单1——课前预习单】

§6.4(1)反正弦函数

【温故篇】

1.函数yf(x),xD存在反函数的条件______________________________ 2.求反函数的一般步骤：（1）________________;(2)_________________;(3)__________________ 13. y与________互为反函数,完成下表. 2解析式

x1y

2yx

图像

1-π/2-11π/2x-1

定义域

值域

奇偶性

单调性

周期性

最值

零点

4.原函数和反函数图像与性质之间的关系

(1)原函数和反函数的图像关于___________对称；

(2)原函数的________是反函数的定义域，原函数的_________是反函数的值域；

(3)若原函数是奇函数，反函数是_________（填奇偶性）；

(4)若原函数是单调函数，则反函数的单调性与原函数的单调性_________（填：一致/相反）.

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【教作业单2——学案】 §6.4反三角函数(1) ——反正弦函数

【学习目标】

1.理解学习反正弦函数的必要性；理解反正弦函数yarcsinx的概念，掌握符号arcsinx的含义，并会用以表示角；

2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质；

3. 通过深入理解反正弦函数的概念产生和发展的过程，进一步理解和掌握研究函数的一般方法，并能为后续的其他反三角函数学习提供思维方式；

4. 通过反正弦函数的学习，培养思维的严谨性，提数学推理能力、逻辑思维能力，自学能力以及勇于探索的精神。

【学习重点难点】

1、

理解反正弦函数概念产生的过程

2、

掌握反正弦函数记号的具体含义，并能用以表示角

【知新篇】

（一）问题提出

1、判断函数ysinx有没有反函数？为什么？___________________________________________ 2、你能否那么你能否给出新的定义域D，使得函数ysinx,xD有反函数？

D=__________________________________________________________________________ 3、请找一个合适的区间来定义反正弦函数._________________________________ 理由______________________________________________________________________

（二）反正弦函数的定义

________________________________________的反函数叫做反正弦函数. 记作________________________________________. （三）研究：反正弦函数的图像与性质

1、作出反正弦函数yarcsinx，x[1,1]的图像

yπ/21(π/2,1)-π/2π/2πx(-π/2,-1)1-π/2

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2、写出相应的性质:

定义域

值域

奇偶性

单调性

周期性

最值

零点

（四）巩固强化

例1：求下列反正弦函数的值

（1）arcsin

例2：用反正弦函数值的形式来表示下列各式中的x. (1) sinx

小结：__________________________________________________________________________

ysinx,x______

yarcsinx

31

（2）arcsin0 (3)

arcsin

22111,x,

(2) sinx,x,

(3) sinx,x,

33322222第

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（五）课堂小结

知识回顾：反正弦函数是谁的反函数？你能画出它的图象，写出它的性质吗？你能用反正弦表示指定范围内的角吗？

（六）作业

1、基础作业

完成课本P108 练习6.4（1）1、2、3、4 2、提高作业

（1）求ysinx,x[32,2]的反函数

（2）判断yarcsinx,x[1,1]的奇偶性，并证明. 3、探究作业

通过今天的学习，类似的去试试研究反余弦函数，解决这3个问题, ①余弦函数有反函数吗？②反余弦是ycosx在哪个区间上的反函数？③反余弦的图象和性质.

解析式

图象

yπ

π/21-11π/2πx-1

定义域

值域

奇偶性

单调性

周期性

最值

零点

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附评价表：

学生数学基础课程课堂学习评价表

学校：______________班级：_____________姓名：______________ 课题：_____________________ 项目

认真

40分

积极

20分

自信

10分

A级（90%~100%）

B级（60%~90%）

上课认真听讲，课堂练习认真，参与讨论态度认真

积极举手发言，积极参与讨论与交流

上课认真听讲，课堂练习能按要求进行，有参与讨论

能举手发言，有参与讨论与交流

C级(0~60%) 上课无心听讲，课堂不能动手跟练，极少参与讨论

很少举手，极少参与讨论与交流

自评

互评

师评

分值

分值

分值

大胆提出和别人有提出自己不同的不敢提出和别人不同的不同的问题，大胆看法，并作出尝试

问题，不敢尝试和表达尝试并表达自己自己的想法

的想法，敢于质疑

思维的能有调理表达自条理性

己的意见解决问30分

题的过程清楚

总分

能表达自己的意不能准确表达自己的意

见，基本能解决问思，不能独立解决问题，题，但条理性差些

解决问题过程颠三倒四

思考能力差，缺乏创造

性，不能独立解决问题

思维的具有创造性思维，能用老师提供的方创造性

能用不同方法解法解决问题，有一附加

决问题，独立思考

定的思考能力和创10分

造性

我这样评价自己：

伙伴眼中的我：

老师的话：

学生数学基础课程作业评价表

学校：______________班级：_____________姓名：______________ 课题：_____________________ 项目

认真

40分

正确

50分

能力

10分

总分

A级（90%~100%）

B级（60%~90%）

作业能认真按时完成

正确率90%

能够主动完成提高题，并且有较高的准确率

能提出问题，不能及时解决问题

不能提出与本堂课有关的问题

作业能按时按量完成

C级(0~60%) 经常欠交作业或作业少做

自评

互评

师评

分值

分值

分值

60%正确率正确率60%

90%

能够尝试提高题

放弃提高题

主动性

能够在作业和思附加

考后提出问题，并10分

通过努力能及时第

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解决问题

我这样评价自己：

伙伴眼中的我：

老师的话

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