3.1.3 空间向量的数量积运算第一课时评课稿

§3.1.3空间向量的数量积运算(第1课时)教案

课 题：3.1.3空间向量的数量积运算 (人教版普通高中课程标准实验教科书)选修2-1 教学目标: 知识与技能 ①掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

②掌握空间向量数量积的概念、性质及运算律； ③会用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。

过程与方法

①运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；

②借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义。

情感、态度与价值观

①培养学生的类比思想、转化思想；培养探究、研讨、综合自学能力；

②培养学生空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力。 教学重点：空间向量数量积运算及其应用。

教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；通过向量运算解决立体几何问题。

教学方法：采取启发引导、类比等方式；

学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。

课 型：新授课

教 具：多媒体投影仪，交互式电子白板

授课时间：2014.12.25 授课地点：高二（21）班

教学过程：

一、引言

（讲故事引入学习方法）

鲁班造锯的故事（故事内容由学生讲述）

[提问]：听完这个故事，你们有什么启发？

[启发]：通过类比，抓住事物间的相似特征进行比较、对照，它能揭示自然界的很多奥秘。数学中，类比是一种很重要的思想,也是数学发现的重要途径之一,在几何学中更是不容忽视的。

二、引入新课

【问题情景】

如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，如何确定BC与AC1的夹角？

[教师分析]：显然，这是空间两个向量夹角的问题，而我们前面学***面内两向量的数量积，可以解决夹角与长度。那么我们能否用平面向量的知识解决呢？

这时候我们发现平面向量的数量积运算不能直接解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度。（引入课题）____3.1.3 空间向量的数量积运算

三、探究新知

探究一：空间向量的夹角

[问题]：回顾平面向量夹角的定义、范围及记法，类比给出空间向量夹角的定义、表示及范围，并指出怎样定义向量垂直？

[教师分析]：由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号都与平面向量相同。

（教师分析，学生类比得出结论）

[活动成果] 1、空间向量夹角的定义

已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,使OAa,OBb,则角AOB为向量a与b的夹角，记作：a,b范围：0a,b

abaA B bO

2、两个向量垂直的定义

如果a,b,则称a与b互相垂直，并记作：ab特别地： 2思考：两个向量的夹角是唯一确定。

a,b与b,a相同吗？a,b与a,b呢？（黑板上画图说明）

探究二：空间向量的数量积定义和性质

[问题]：回顾平面向量的数量积运算的定义、运算律及性质，类比并尝试给出空间向量定义数量积运算，运算满足怎样的运算律，以及性质？

[教师分析]：由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量数量积的定义和取值范围、运算律及性质都与平面向量相同。

（学生发言，老师板书）

[活动成果] ：

1、空间向量的数量积定义

已知空间两个向量a,b，则abcosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，

即ababcosa,b

思考：

⑴

两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵

0a （选0还是0）

⑶

你能说出空间ab的几何意义吗？

数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积.

（借助图形说明）

2、空间向量的数量积满足的运算律

①

对数乘的结合律:(a)b(ab)a(b) ②交换律:abba

③分配律:(ab)cacbc）

3、空间向量数量积的性质

1)aeacosa,e2)abab03)aaa4)cosa,b

2

abab

思考：

①对于非零向量a、b、c，由

ab=ac，能得到b=c吗？请举出反例。

②对于向量a、b、c,(a.b)c=a(b.c)成立吗？举例说明？

③若ab0,则a0或b=0吗？为什么？

四、

运用新知

例1、

如图，，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1。

求BC与AC夹角的大小．．

1

例2：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（备用）

五、

巩固练习

21、已知

a22,b,ab2，则ab所成的角为 22、判断真假

1）若ab0,则a0,b02)(ab)ca(bc)3)p2q2(pq)24)pqpqp2q2六、

课堂小结

1.空间向量的夹角

2.空间向量的数量积定义和性质

()()()

()3.掌握利用数量积来求夹角及长度的问题

七、作业布置（见练案）