3.1.1 变化率问题教学实录与评析

人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节

变化率与导数

1.1.1 变化率问题（学案）

学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 学习重点：探究和体验平均变化率的实际意义与数学意义. 学***均变化率的概念.

学习过程

一、

情景引入

1.

问题引入

1）求下列图中阴影部分面积.

2)求函数yxlnx,x(0,4]的最小值. 2.数学史 为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。

二、概念形成：

T(℃)(一)问题呈现

C (34, 33.5)30问题1 气温平均变化率

B (31, 18.5)小明把某市2016年3月18日到4月20日的日最高气温

20用气温曲线图绘制如下：（以3月18日作为第1天）．

10A (1, 3.5)（1）A,B,C三点坐标分别表示什么意思？

20（2）当时间从第1天到第31天，从第31天到第34天时，

110203134t(d)温度平均变化率分别是多少？

（注：3月18日为第一天）问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态，那么

（1）在0t0.5这段时间里，v=

（2）在1t2

这段时间里，

v=

思考1:当时间从t1增加到t2时, v=

问题3 气球膨胀率

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?

我们把半径的增加量与体积的增加量之比就叫做气球的平均膨胀率。

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)___________

如果将半径r(单位:dm)表示为体积V(单位:L)的函数,那么r(V)____________

空气容量v(L) 0 1 2 3 气球半径（dm）

（参考值：336940.62340.78340.89）

(1)V从0L增加到1L气球平均膨胀率为

(2)V从1L增加到2L气球平均膨胀率为

(3)V从2L增加到3L气球平均膨胀率为

思考2：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是

回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

（二）定义

函数yf(x)从x1到x2的平均变化率:

三、

概念巩固

例题：已知函数f(x)=4xx2

（1）求f(x)从1到2的平均变化率；

（2）求f(x)从1到3的平均变化率.

小结1：

求函数的平均变化率的步骤:

变式1：从1到1＋x函数值的增量为多少？平均变化率为多少？

变式2：从x0到x0＋x平均变化率为多少？

小结2：

函数f(x)从x0到x0x的平均变化率:

思考3：

观察函数yf(x)的图象，平均变化率yf(x2)f(x1)x=x的几何意义是什么？

2x1

四、总结深化

1、课堂小结：

（1）知识

（2）思想方法

2、问题探究：计算运动员在0t6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内是静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

五、课后作业

1．习题1.1Ａ组

第1题．

2.实习作业：收集牛顿与莱布尼茨的生平资料，以及他们创立微积分时所做的开创性工作；收集微积分创立的时代背景与历史意义的有关材料。