1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计

选修2-1 1.1.3 四种命题间的相互关系（教案）

元氏一中 张锁军

【教学目标】四种命题间的相互关系及四种命题的真假性的判断. 【重点】会写四种命题并判断其真假. 【难点】利用四种命题间的相互关系判断命题的真假.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第6 页～第8页）

1.四种命题 . 命题

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

表现形式

若p，则q

若q，则p（1）

若p，则q（2）

若q，则p（3）

请填（1）（2）（3）空格

2.分析下列四种命题之间的关系. （1）若fx是正弦函数，则fx是周期函数；

（2）若fx是周期函数，则fx是正弦函数；

（3）若fx不是正弦函数，则fx不是周期函数; （4）若fx不是周期函数，则fx不是正弦函数. (1)(2)互为 互逆命题 ，（1）（3）互为 互否命题 ，

（1）（4）互为 逆否命题 ，（2）（3）互为 逆否命题 . 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：

若p，则q 若q，则p

互逆

原命题

逆命题

互

互

互互为

为

否否逆

逆

否

否

否命题

逆否命题

互逆

若¬p，则¬q 若¬q，则

¬p

3.四种命题的真假性

原命题

真

真

假

逆命题

真

假

真

否命题

真

假

真

1 逆否命题

真

真

假

假

假

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

（1）

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 ；

（2）

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 . 4.通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这个方法利用“若p，则q若q，则p”，即欲证“若p，则q”为真，可由假设“非q”来证明“非p”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若p，则q“是真命题. 【基础练习】

1.下了四个命题：①命题“若xy1，则x,y互为倒数“的逆命题；②命题”面积相等2的三角形全等“的否命题；③命题”若m1，则x2xm0有实根“的逆否命题；④命题”若ABB，则AB“的逆否命题. 其中是真命题的是 ①②③ （填上你认为正确的命题序号）. 2.下列说法中正确的是（

Ｄ

）

（Ａ）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真. (B)“ab”与“acbc”不等价

（C）“若ab0，则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0，则ab0”

（D）一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

3.命题“若m0，则xxm0有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是（ C ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 24.命题“若a5，则a25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命22222题是（ C ）. （A）原命题、否命题 （B）原命题、逆命题

（C）原命题、逆否命题 （D）逆命题、否命题

【典型例题】

例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. 22(1)

若ab，则acbc；

(2)

若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形. 【审题要津】.本题已具备“若p,则q”的形式，因此可直接写出他们的四种命题. 22解：（1）逆命题：若acbc，则ab，（真命题）. 22否命题：若ab，则acbc，（真命题）. 22逆否命题：若acbc，则ab,（假命题）. （2）逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，（真命题）. 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，（真命题）.

2

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，（真命题）. 【方法总结】写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写. 变式训练1：已知命题甲：“若q，则p”，命题乙：“若q，则p”，则甲与乙两个命题的关系式 互否命题 . 例2 已知奇函数fx是定义在R上增函数，若fafb0，求证ab0. 【审题要津】当个命题不好证明的时候，可以写出它的逆否命题，只需要证明逆否命题正确就可以. 解：其逆否命题为：已知奇函数fx是定义在R上增函数，若ab0，则fafb0. ab0,ab

又函数fx是定义在R上的增函数，

fafb

有函数fx是奇函数，所以fbfb，故

fafb=fb

所以fafb0. 【方法总结】本题还可以利用反证法来证明. 变式训练 2：已知函数fx是定义在R上的增函数，a、bR，若ab0，求证fafbfafb. 【审题要津】注意ab0可变形为：ab或ba. 解：由于ab0可得ab或ba，又由于函数fx是定义在R上的增函数，

fafb,fba

故fafbfafb

【方法总结】注意式子的变形应用，同时还可以把它看成命题写出它的逆否命题、逆命题，然后证明其命题的真假.

21.命题“若x1，则1x1”的逆否命题是（ D ）. 22（A）若x1，则x1或x1 （B）若1x1，则x1

3

22（C）若x1或x1，则x1 （D）若x1或x1，则x1

2.给出命题：若函数yfx是冥函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）. （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 3.若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的（ C ）. （A）逆命题 （B）否命题 （C）逆否命题 （D）等价命题

4.设原命题：若ab2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ A ）. （A）原命题真，逆命题假 （B）原命题假，逆命题真

（C）原命题与逆命题均为真命题 （D）原命题与逆命题均为假命题

5.与命题“若mM,则nM”等价的命题是（ D ）. （A）若mM,则nM （B）若nM，则mM

（C）若mM，则nM （D）若nM，则mM

6.有下列四个命题：

①“若b3,则b29”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

2③“若c1，则x2xc0有实根”；

④“若ABA，则AB”的逆否命题. 其中真命题的个数是（ A ）. （A）1 （B）2 (C) 3 (D)4 7.命题xAB的否命题是

xA或xB . 8.命题“若ab0，则a,b中至少有一个为零”的逆否命题是

若a,b都不为零，则 ab0. 9.写出命题“当abc0时，a0或b0或c0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断他们的真假. 【审题要津】

注意命题之间的转换的时候，一些词语和词语的否定. 解：原命题是真命题

逆命题：若a0或b0或c0，则abc0， 是真命题. 否命题：若abc0，则a0且b0且c0， 是真命题. 逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0，

是真命题. 【方法总结】命题的真假性的判断，可以利用命题之间的关系来判断，如原命题与逆否命题的真假性相同，而否命题和否命题的真假性相同.

10.已知x,yR，若xy2，则x,y中至少有一个大于1. 【审题要津】当一个命题直接证明不好证明的时候，可以写出它的等价命题即逆否命题，只要证明逆否命题成立就行.

4

解：原命题的逆否命题为：若x,y都小于等于1，则xy2，

x1,y1 xy2

即结论成立. 【方法总结】 这个题也可以用反证法来证明.

1.

否命题是将原命题的条件否定后作条件，将原命题的结论否定后作结论得到的命题. 写否命题最容易出现错误，学习中要掌握以下常见词语和其否定词语. 原等词语

于

否定词语

大于

小于

是

都是

至至至任任多有多有少有意的

意两一个

n个

一个

个

p或q

能

不不不不等于

大于

小于

是

不至至一某都是

少有少有个也个

两个

n1

没有

q不某两个

且能

p

注：在实数范围内，“不大于”就是“”，“不小于”就是“”. 2．对于不是“若p,则q”型的命题，先将命题改写为“若p,则q”的形式，才能写出命题的逆命题、否命题和逆否命题，凡是不能写成“若p,则q”形式的命题，是没有所谓的逆命题、否命题、逆否命题的.

5

选修2-1 1.1.3 四种命题间的相互关系（学案）

【知识要点】四种命题间的相互关系. 【学习要求】掌握四种命题真假性定理，特别是互为逆否命题的等价性定理.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第6 页～第8页）

1.四种命题 . 命题

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

表现形式

若p，则q

（1）

（2）

（3）

请填（1）（2）（3）空格

2.分析下列四种命题之间的关系. （1）若fx是正弦函数，则fx是周期函数；

（2）若fx是周期函数，则fx是正弦函数；

（3）若fx不是正弦函数，则fx不是周期函数; （4）若fx不是周期函数，则fx不是正弦函数. (1)(2)互为 ，（1）（3）互为 ，

（1）（4）互为 ，（2）（3）互为 . 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：

若p，则q 若q，则p

互逆

原命题

逆命题

互

互

互互为

为

否否逆

逆

否

否

否命题

逆否命题

互逆

若¬p，则¬q 若¬q，则

¬p

3.四种命题的真假性

原命题

逆命题

否命题

6 逆否命题

真

真

假

假

真

假

真

假

真

假

真

假

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

（1） ；

（2） . 4.通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这个方法利用“若p，则q若q，则p”，即欲证“若p，则q”为真，可由假设“非q”来证明“非p”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若p，则q“是真命题. 【基础练习】

1.下了四个命题：①命题“若xy1，则x,y互为倒数“的逆命题；②命题”面积相等2的三角形全等“的否命题；③命题”若m1，则x2xm0有实根“的逆否命题；④命题”若ABB，则AB“的逆否命题. 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题序号）. 2.下列说法中正确的是（ ）

（Ａ）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真. (B)“ab”与“acbc”不等价

（C）“若ab0，则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0，则ab0”

（D）一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

3.命题“若m0，则xxm0有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 24.命题“若a5，则a25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命22222题是（ ）. （A）原命题、否命题 （B）原命题、逆命题

（C）原命题、逆否命题 （D）逆命题、否命题

【典型例题】

例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. 22(3)

若ab，则acbc；

(4)

若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.

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变式训练1：已知命题甲：“若q，则p”，命题乙：“若q，则p”，则甲与乙两个命题的关系式 . 例2 已知奇函数fx是定义在R上增函数，若fafb0，求证ab0.

变式训练 2：已知函数fx是定义在R上的增函数，a、bR，若ab0，求证fafbfafb.

21.命题“若x1，则1x1”的逆否命题是（ ）. 22（A）若x1，则x1或x1 （B）若1x1，则x1

22（C）若x1或x1，则x1 （D）若x1或x1，则x1

2.给出命题：若函数yfx是冥函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）. （A）3 （B）2 （C）1 （D）0

8

3.若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的（ ）. （A）逆命题 （B）否命题 （C）逆否命题 （D）等价命题

4.设原命题：若ab2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）. （A）原命题真，逆命题假 （B）原命题假，逆命题真

（C）原命题与逆命题均为真命题 （D）原命题与逆命题均为假命题

5.与命题“若mM,则nM”等价的命题是（ ）. （A）若mM,则nM （B）若nM，则mM

（C）若mM，则nM （D）若nM，则mM

6.有下列四个命题：

①“若b3,则b29”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

2③“若c1，则x2xc0有实根”；

④“若ABA，则AB”的逆否命题. 其中真命题的个数是（ ）. （A）1 （B）2 (C) 3 (D)4 7.命题xAB的否命题是 . 8.命题“若ab0，则a,b中至少有一个为零”的逆否命题是 . 9.写出命题“当abc0时，a0或b0或c0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断他们的真假.

10.已知x,yR，若xy2，则x,y中至少有一个大于1.

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2.

否命题是将原命题的条件否定后作条件，将原命题的结论否定后作结论得到的命题. 写否命题最容易出现错误，学习中要掌握以下常见词语和其否定词语. 原等词语

于

否定词语

大于

小于

是

都是

至至至任任多有多有少有意的

意两一个

n个

一个

个

p或q

能

不不不不等于

大于

小于

是

不至至一某都是

少有少有个也个

两个

n1

没有

q不某两个

且能

p

注：在实数范围内，“不大于”就是“”，“不小于”就是“”. 2．对于不是“若p,则q”型的命题，先将命题改写为“若p,则q”的形式，才能写出命题的逆命题、否命题和逆否命题，凡是不能写成“若p,则q”形式的命题，是没有所谓的逆命题、否命题、逆否命题的.

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