1.1.1 命题第二课时教案

§1.1 命题及其关系

1.1.1 命题&1.1.2 四种命题&1.1.3四种命题间的关系

1．命题

下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? （1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

（2）2+4=7；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）若x2=1，则x=1；

（5）两个全等三角形的面积相等；

（6）3能被2整除．

可以看到，这些语句都是陈述句，并且可以判断真假．其中语句（1）（3）（5）判断为真，语句（2）（4）（6）判断为假．

一般的，在数学上，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中，判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题．

说明：（1）强调判断命题的两个基本条件：

①必须是一个陈述句；②可以判断真假．

（2）注意不要把假命题误认为不是命题．

【例1】判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a是素数，则a是奇数；

（3）指数函数是增函数吗？

（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；

（5）222；

（6）x>15．

（7）画线段AB=CD．

（8）一中的景色多美啊！

（9）这是一条大河．

解析：（1）真命题；（2）假命题；（3）疑问句，不是命题；（4）假命题；（5）真命题；（6）无法判断真假，不是命题；（7）祈使句，不是命题；（8）感叹句，不是命题；（9）判断标准不明确，不是命题．

☆方法归纳：判断语句是否为命题的方法：（1）必须是陈述句，（2）可以判断真假．

2．命题形式“若p则q”

例1中的命题“若整数a是素数，则a是奇数．”具有“若p则q”的形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式，也可写成“如果p，那么q”、“只要p，就有q”等形式．

记作: pq．其中p和q可以是命题也可以不是命题．

“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别，缺点是太格式化且不灵活．

有一些命题虽然表面上不是“若p则q” 的形式，但也可以写成“若p则q” 的形式．如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”写成“若p则q”的形式为：

若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．

【例2】

指出下列命题中的条件p和结论q：

（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）菱形的对角线互相垂直且平分．

解：（1）条件p：整数a能被2整除，

结论q：整数a 是偶数．

（2）写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，

则它的对角线互相垂直且平分．

条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．

【例3】把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判定真假．

（1）负数的平方是正数．

（2）偶函数的图像关于y轴对称．

（3）垂直于同一条直线的两条直线平行

（4）面积相等的两个三角形全等．

（5）对顶角相等．

解析：（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）真命题．

变式1．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假．

（1）等腰三角形两腰的中线相等；

（2）偶函数的图象关于y轴对称；

（3）垂直于同一个平面的两个平面平行．

解：(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两腰的中线相等．这是真命题．

(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题．

(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行．这是假命题．

变式2．判断下列命题的真假

（1）能被6整除的整数一定能被3整除；

（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；

（3）二次函数的图象是一条抛物线；

（4）两个内角等于的三角形是等腰直角三角形．

解：（1）真；（2）假；（3）真；（4）真．

3．四种命题

观察：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数

通过观察，我们发现：

命题（1）的条件和结论分别是命题（2）的结论和条件，即它们的条件和结论互换了．

互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

也就是说：

原命题为：“若p，则q”

逆命题为：“若q，则p”

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”．

对于命题（1）（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．

互否命题：如果一个命题的条件和结论是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．

也就是说：

原命题为：“若p，则q”

否命题为：“若p，则q”

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”．

对于命题（1）（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，我们把

这样的两个命题叫做互否命题．

互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．

也就是说：

原命题为：“若p，则q”

否命题为：“若q，则p”

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“两直线不平行，同位角不相等”．

下面我们将上述四种命题概况一下：

原命题: 若

p，

则q，记作：pq．

逆命题: 若

q，

则p，记作：qp．

┐┐否命题: 若

p，

则q ，记作：pq．

逆否命题: 若

┐q，

则┐p，记作：qp．

【例4】写出下列命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题．

（1）正方形的四条边相等．

（2）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0．

解：（1）逆命题：如果一个四边形四边相等，那么它是正方形，假命题．

否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等，假命题．

逆否命题：如果一个四边形四边不相等，那么它不是正方形，真命题．

（2）逆命题：若X2－３Ｘ＋２＝０，

则Ｘ＝１或Ｘ＝２，真命题．

２否命题：若Ｘ１且Ｘ２，则Ｘ－３Ｘ＋２

０，真命题．

逆否命题：若X2－３Ｘ＋２



０，则Ｘ１且Ｘ

２，真命题．

4．四种命题之间的

关系

观察下列四个命题：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数

我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系，你能说出其他任意两个命题之间的相互关系吗？

我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）是互否命题，命题（3）（4）是互逆命题．

一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题之间的相互关系，如图所示：

上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定相互关系呢？

一般地，四种命题的真假性，有而且仅有下面四种情况:

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

假

真

否命题

真

假

假

真

逆否命题

真

真

假

假

由表格可发现：这4个命题中真命题的个数一定为偶数个．

由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

【例5】证明：若x2+y2=0，则x=y=0

证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2>0 所以

x2+y2>0，这与已知条件若x2+y2=0，则

矛盾，故x=y=0

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而命题也是真命题

．

6．一些常见的结论的否定形式

原结论

是

都是

大于

小于

反设词

不是

不都是

不大于

大于或等于

原结论

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

反设词

一个也没有

至少两个

至多有（n-1）个

至少有（n+1）个

对所有x，成立

存在某x，不成立

对任何x，不成立

存在某x，成立

结论：（1）“或”的否定为“且”．

（2）“且”的否定为“或”．

（3）“都”的否定为“不都”．

（4）“一定是”的否定为“一定不是”．

※当堂检测

1．下列命题是真命题的为（

）

A．若11，则xy

B．若x2=1，则

x=1

xyC．若x=y，则

D．若x

答案：A 2．

命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（

）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析：

B，因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为

“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

3．

命题“若a>b，则2a>2b-1”的否命题为______________________．

答案：若a 

b，则2a



2b-1

4．

命题“若x2<1，则-1

）

A．若x2

≥ 1，则x

≥ 1

B．若-11或x<-1，则x2>1

D．若x

≥ 1或x ≤ -1，则x2 ≥ 1

解析：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题，因此答案为D．

5．有下列四个命题：

①“若x+y=0 ，

则互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若

q≦1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题为（

）

A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

答案：C

1．下列语句中不是命题的是

(

) A．一个数不是正数就是负数

B．二次函数不是偶函数

C．x>0

D．对于x∈R，总有x2>0 【解析】选C．能判断真假的陈述句是命题，只有x>0无法判断真假，不是命题．

2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是

(

) A．这个数能被2整除

B．这个数能被3整除

C．这个数既能被2整除，也能被3整除

D．这个数是6的倍数

【解析】选C．命题可改写为:若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．

3．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题

(

) A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

【解析】选D．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．

4．“在△ABC中，若∠C=90°，则∠B，∠A全是锐角”的否命题为

(

) A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角

B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角

C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一个钝角

D．以上均不对

【解析】选B．否命题的条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定，故选B．

5．已知命题p:已知m≠0，若2a>2b，则am2>bm2，则其否命题为

(

) A．已知m=0，若2a>2b，则am2>bm2

B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2>bm2

C．已知m≠0，若2a>2b，则am2≤bm2

D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2

【解析】选D．命题p:已知m≠0，若2a>2b，则am2>bm2，则其否命题为:已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2．

6．已知直线l1:x+ay+1=0，直线l2:ax+y+2=0，则命题“若a=1或a=-1，则直线l1与l2平行”的否命题为

(

) A．若a≠1且a≠-1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠-1，则直线l1与l2不平行

C．若a=1或a=-1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠-1，则直线l1与l2平行

【解析】选A．命题“若p，则q”的否命题为“若﹁p，则﹁q”，显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A．

7．与命题“若x=3，则x2-2x-3=0”等价的命题是

(

) A．若x≠3，则x2-2x-3≠0

B．若x=3，则x2-2x-3≠0

C．若x2-2x-3≠0，则x≠3

D．若x2-2x-3≠0，则x=3 【解题指南】只需找其逆否命题即可．

【解析】选C．与其等价的命题为逆否命题:若x2-2x-3≠0，则x≠3．

8．(2016·银川高二检测)命题“若-1

(

) A．若x≥1或x≤-1，则x2≥1

B．若x2<1，则-11，则x>1或x<-1

D．若x2≥1，则x≥1或x≤-1 【解析】选D．若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若﹁q，则﹁p”，故此命题的逆否命题是“若x2≥1，则x≥1或x≤-1”．

9．有下列命题:①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2-x-6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是

(

) A．0

B．1

C．2

D．3 【解析】选B．①的否命题为“若x+y≠0，则x，y不互为相反数”为真命题．

②的逆否命题为“若x2≤y2，则x≤y”为假命题，如x=0，y=-1时，02≤(-1)2，但0>-1．

③的否命题为“若x>3，则x2-x-6≤0”，为假命题．

④的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题．

10．已知下列命题:①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若m>2，则不等式x2-2x+m>0的解集为R”．其中真命题的个数为

(

) A．0

B．1

C．2

D．3 【解析】选B．对①，原命题是假命题，其逆否命题也是假命题；

对②，其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形，是假命题；

对③，不等式x2-2x+m>0的解集为R，需满足Δ=4-4m<0，解得m>1．而m>2满足m>1．故只有③是真命题．

11．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列为真命题的是

(

) A．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

【解析】选B．若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，选项A不正确；

若l∥α，过l的平面与平面α交于直线m，则l∥m，又l⊥β，所以m⊥β，又mα，从而α⊥β，选项B

正确；若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ，选项C不正确；若α⊥β，l∥α，则l⊥β或l∥β或l与β斜交，选项D不正确．

12．“若x2-2x-8<0，则p”为真命题，那么p是

(

) A．{x|-2

B．{x|2

C．{x|x>4或x<-2}

D．{x|x>4或x<2} 【解析】选A．解不等式x2-2x-8<0，得不等式的解集为{x|-2

13．下列命题中正确的是

(

) ①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题；④“若x-3是无理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①④

【解析】选B．①中否命题为“若x2+y2=0，则x=y=0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ=1+4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确，故逆否命题正确．

二、填空题

14．把命题“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”写为“若p，则q”的形式为______________________________．

【解析】若一条直线到圆心的距离等于半径，则它是圆的切线．

15．“若a+是有理数，则a是无理数”的逆否命题为____________________________ 不是有理数

【解析】若a不是无理数，则a+16．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内一条直线垂直于l，则α和β垂直．上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对．

17．给定下列命题：①若a>0，则方程ax2+2x=0有解．②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x-是有理数，则x是无理数”的逆否命题；④“若a>1且b>1，则a+b>2”的否命题．其中真命题的序号是________．

【解析】显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x-是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题．对于④中，“若a>1且b>1，则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a+b≤2”为假命题．

答案:①

18．设y=f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件:(1)y=f(x)为偶函数．(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称．(3)T=2为y=f(x)的一个周期．如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个．

【解题指南】先写出相应的命题，然后判断真命题的个数．

【解析】①(1)(2)(3)，由(2)知f(x)=f(2-x)，

又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，

所以T=2为y=f(x)的一个周期．

②(1)(3)(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，

又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2+x)，

所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称．

③(2)(3)(1)，由(2)知f(x)=f(2-x)，

所以f(-x)=f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，

所以f(x)=f(-x)，即y=f(x)为偶函数．

答案:3

三、解答题

19．已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

【解析】(1)逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0，真命题．

用反证法证明:假设a+b<0，则a<-b，b<-a．

因为f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，所以f(a)

这与题设相矛盾．

所以逆命题为真命题．

(2)逆否命题:若f(a)+f(b)

因为互为逆否的命题真假性相同，

所以可证明原命题为真命题．

因为a+b≥0，所以a≥-b，b≥-a．

又因为f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，

所以f(a)≥f(-b)，f(b)≥f(-a)，

所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)．

所以逆否命题为真．