1.4.1 全称量词公开课教学设计模版

1.4全称量词与存在量词

1.4.1全称量词

1.4.2存在量词

教学目标：

1.知识目标：①.理解全称量词与存在量词的含义

②.会用数学符号表示全称命题与特称命题

③.会判断全称命题与特称命题的真假

2.能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生

的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；

3.情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过

程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣. 教学重点：理解全称量词与存在量词的意义. 教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假. 教学过程：

一．自主学习

（一）、全称量词与全称命题

1.观察以下语句，它们是命题吗？

（1） x>3; (2) 2x+1是整数

（3）对所有的xR，x3；

（4）对任意一个x∈Z,2x+1是整数；

2.以上的四个语句，（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系? 解：1.语句(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题. 2．语句(3)在语句(1)的基础上增加了短语“对所有的x∈R”对变量x进行限制;语句(4)在语句(2)的基础上增加了短语“对任意一个x∈Z”对变量x进行限制. 3、归纳结论

（1）全称量词的定义及符号表示

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）全称命题的定义及符号表示：

1

含有全称量词的命题叫做全称命题,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,用符号表示为: xM,p(x). 4.思考：（1）在全称命题中全称量词是否可以省略？

（2）一个全称命题的表述是否唯一？

5.填表

全称量词

符号

全称命题

形式

含有 的命题

“对M中的任意一个x,有P(x)成立”,用符号简记为

“ ”

（二）、存在量词与特称命题

1. 观察以下语句，它们是命题吗？

（1）2x+1=3 (2) x能被2和3整除；

（3）存在一个x0∈R,使2x0+1=3 (4)至少有一个x0∈Z,, x0能被2和3整除；

2.以上四个语句，（3）与（1），（2）与（4）之间有什么关系？

解：1、(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题. 2、语句(3)在(1)的基础上,用短语“至少有一个”对变量的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“存在一个”对变量的取值进行限制. 3.归纳结论：

（1）存在量词的定义及符号表示：

短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中叫做_存在量词,用符号“”表示. （2）特称命题的定义及符号表示：

含有存在量词的命题,叫做特称命题。特称命题：“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”用符号表示为“x0M,p(x0)”. 4.思考：怎样区别全称命题和特称命题？

5.填表：

存在量词

2

符号

特称命题

形式

含有 的命题

“存在M中的元素x0,使P(x0)成立”,用符号简记为

“ ”

（三）、课堂练习：

1.下列命题中全称命题的个数为

(

) ①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.下列语句不是全称命题的是

(

) A.模相等的向量是相等向量

B.共线向量所在直线共线

C.在平面向量中,有些向量是共线向量

D.每一个向量都有大小

3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是

(

) A.存在一个α,使tan(90°-α)=tanα

B.存在实数x0,使sinx0=

2C.对一切α,sin(180°-α)=sinα

D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

4.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________. 二、合作探究与精讲释疑：

类型一

全称命题与特称命题的判断

【典例1】(1)下列语句不是特称命题的是

(

) A.有的无理数的平方是有理数

B.有的无理数的平方不是有理数

C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数

D.存在x0∈R,2x0+1是奇数

(2)给出下列几个命题: ①至少有一个x0,使x0+2x0+1=0成立; ②对任意的x,都有x+2x+1=0成立; 22

3

③对任意的x,都有x+2x+1=0不成立; ④存在x0,使x0+2x0+1=0成立. 其中是全称命题的个数为

(

) A.1 B.2 C.3 D.0 引导学生总结：判断一个命题是否为全称命题或特称命题的关注点：

判断一个命题是否为全称命题或特称命题,就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词,有些命题的量词可能隐含在命题之中,这时要根据命题含义判断形式,如大多数公理、定理的简述都是一般性结论,它们大多数省略了全称量词,但仍应看作全称命题. 【巩固训练】下列命题中是全称命题的个数为

(

) ①凸多边形的外角和为360°; ②有的向量方向不定; ③对任意角α,都有sin2α+cos2α=1; ④有一个函数既是奇函数又是偶函数. A.1 B.2 C.3 D.4 类型二

全称命题与特称命题真假的判断

【典例2】指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x+1是奇数. (2)存在一个x0∈R,使2210 x01(3)对任意向量a,|a|>0. (4)有一个角α,使sinα>1. 解：(1)是全称命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使

10成立,所以该命题是假命题. x01(3)是全称命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题. (4)是特称命题.因为∀α∈R,sinα∈[-1,1],所以该命题是假命题. 引导学生总结：全称命题与特称命题真假的判断方法

(1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).

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(2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即可;否则,这个特称命题就是假命题. 三、【课堂检测】

（一）、判断下列命题的真假: (1)p:所有的单位向量都相等. (2)p:任一等比数列{an}的公比q≠0. (3)p:∃x0∈R,x0+2x0+3≤0. 解：(1)p是全称命题,是假命题.若两个单位向量e1,e2方向不相同,虽然有|e1|=|e2|=1,但e1≠e2. (2)p是全称命题,是真命题.根据等比数列的定义知,任一等比数列中,其每一项an≠0,所以其公比q = 2an ≠0(n=1,2,3,…). an12(3)p是特称命题,是假命题.因为对于¬p:∀x∈R,x+2x+3>0是真命题,这是因为x+2x+3=(x+1)+2≥2>0恒成立. （二）、判断下列命题的真假: (1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0. (2)对任意实数x1,x2,若x10,故该命题为假命题. （三）用符号“”

、“”语言表达下列命题

（1）对于所有的实数x,x≥0；

(2)有些四边形是梯形；

（3）有理数的平方是有理数

（4）存在一个实数x,使3x+5=0 四、【课堂小结】

1.知识总结：

5 22222

2.方法总结

五、课外作业： 课本26页，习题1.4 第1，2,3题

六．课后检测题

1．下列命题中为全称命题的是（ ）

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形

；（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；

(C)所有矩形都有外接圆

； （D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

2．下列全称命题中真命题的个数是（ ）

①末位是0的整数，可以被3整除；②对xZ,2x21为奇数．

③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

3．下列特称命题中假命题的个数是（ ）

．．．①xR,x0；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 4．命题“存在一个三角形，内角和不等于180”的否定为（ ）

（A）存在一个三角形，内角和等于180；（B）所有三角形，内角和都等于180；

（C）所有三角形，内角和都不等于180；（D）很多三角形，内角和不等于180．

5．把“正弦定理”改成含有量词的命题．

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6．用符号“”与“”表示含有量词的命题“p：已知二次函数f(x)a(x21)b(x1)，则存在实数a,b，使不等式xf(x)12．

(x1)对任意实数x恒成立”2a2恒成立，求a的取值范围．

x7．对x(0,)，总a(0,)使得f(x)x

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