1.2 充分条件与必要条件（通用）教学设计案例

§1.2

充要条件与必要条件（复习课）

学习目标：

1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系. 3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力. 4.掌握三种方法判断充分条件、必要条件。

课前案

一、知识回顾

充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要

条件

p是q的 充分不必要

条件

p是q的 必要不充分 条件

p是q的 充要

条件

p是q的 既不充分也不必要 条件

p⇒q且q⇏p

p⇏q且q⇒p

p⇔q

p⇏q且q⇏p

备注：p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。

【知识拓展】

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

(1)若A⊆B，则p是q的 充分条件

；

(2)若A⊇B，则p是q的 必要条件 ；

(3)若A＝B，则p是q的 充要条件 ；

(4)若AB，则p是q的 充分不必要条件

；

(5)若AB，则p是q的 必要不充分条件

；

(6)若AB且BA，则p是q的 即不充分也不必要条件

.

二、考点自测

1.

试分别指出p是q的什么条件

(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等。

解：(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，

∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，

而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p.

∴p是q的充分不必要条件. 2.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解：设A={3},B={3,4} ABx30是(x3)(x4)0的充分不必要条件

3.已知p是q必要不充分条件，则q是p必要不充分条件.

课堂案

三、例题讲解

考向1 定义法判断

例1

给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件.

(1) )已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.

(2)p：a>b，q：ac>bc. 解

(1) 由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，但(x－1)(x－2)＝0⇏ x＝1 故p是q的充分不必要条件.

(2)∵p⇏q，且q⇏p，

∴p是q的既不充分也不必要条件. 跟踪训练1

指出下列哪些命题中分别指出p是q的什么条件？

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC. (2) 在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. 解

(1)在△ABC中，由大角对大边知，大边对大角，∠A>∠B⇔BC>AC，

所以p是q的充要条件. (2)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则sin A>sin B，但tan A

同样取∠A＝30°，∠B＝120°则tan A>tan B.，但sin A

故p是q既不充分也不必要条件. 考向2 等价转化法判断

例2(1)

对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解：对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，有因为x＋y＝8⇏ x＝2且y＝6 所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6，故p是q的充分不必要条件. (2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x，则 p是q的( ) 2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解：

由5x－6>x2，得2

所以q⇒p且p⇏q，所以

p⇒

q且

q⇏

p，

所以p是q的充分不必要条件，故选A.

考向3

集合法判断

例3

例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.

解

由x－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 2

1－m≤1＋m，

则1－m≥－2，

∴0≤m≤3.

1＋m≤10，

反思与感悟

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值. 跟踪训练2

已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围. 解

由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，

∴a－1

a－1≥－3，∴

解得－2≤a≤7. a＋1≤8，

故a的取值范围是－2≤a≤7.

四、

1.充分条件、必要条件的判断方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题非q⇒非p即可；同理要证q⇒p，只需证非p⇒非q即可. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的

关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 五、

1.“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的____________条件. 答案

充分不必要

解析

∵当x＝2时，x2－7x＋10＝4－14＋10＝0，

∴x＝2⇒x2－7x＋10＝0. 当x2－7x＋10＝0时，则x1＝2，x2＝5. ∴x2－7x＋10＝0⇒x＝2. ∴“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的充分不必要条件. 2.“x<2”是“x2－x－2<0”的________条件. 答案

必要不充分

解析

∵x＝－2时，x2－x－2＝4>0，

∴“x<2”⇒

“x2－x－2<0”，

∵解不等式x2－x－2<0，得－1

∴“x2－x－2<0”⇒“－1

∴“x<2”是“x2－x－2<0”的必要不充分条件. 3.“a>b”是“a＋c>b＋c”的________条件. 答案

充要

解析

∵a>b⇒a＋c>b＋c，a＋c>b＋c⇒a>b，

∴a>b是a＋c>b＋c的充要条件. 4.下列式子：①x<1；②0

②③④

解析

由x2<1，解得－1

{x|－10”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解

由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x2或x<1}. ∴m≤1.

六、小结

1、若pq,且qp,则称p是q的充要条件2、若pq,但q条件p,则称p是q的充分不必要3、若qp,但p必要不充分条件q,则称p是q的4、若pq,但qp,则称p是q的既不充分也不必要条件

巩固案

七、巩固提升

(1)(2018届莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(

D

) A.充要条件

B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件

D.必要不充分条件

(2)设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的(

A

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(3)“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的(

A

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（4）“x<0”是“ln(x+1)<0”的(

B

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件