1.2.2 充要条件教学设计第一课时

统计与概率专题练习

1．从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同．若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及数学期望．

思路分析：先确定好抽取次数X的取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及数学期望．

解：由题意知X的取值为2,3,4,5．

当X＝2时，表示前2次取的都是红球，

1A2∴P(X＝2)＝2＝；

210A5当X＝3时，表示前2次中取得一红球，一白球或黑球，第3次取红球，

121C12C3A2∴P(X＝3)＝＝；

35A5当X＝4时，表示前3次中取得一红球，2个不是红球，第4次取红球，

23C132C3A3∴P(X＝4)＝＝；

410A5当X＝5时，表示前4次中取得一红球，3个不是红球，第5次取红球，

34C122C3A4∴P(X＝5)＝＝．

5A55∴X的分布列为

2

3

4

5 1132P

1051051132∴数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4．

105105

2.（2008全国理）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

解：（Ⅰ）解：设A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次。

B1、B2表示依方案乙需化验2次、3次；

A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。

依题意知A2与B2独立，且AA1A2B

121A4C4C21112P(A1)1,P(A2)2,P(B2)31

C55A55C5C35X

1127P(A)P(A1A2B2)P(A1)P(A2)P(B2)

5552580.72

∴

P(A)1P(A)25（Ⅱ）的可能取值为2，3。

32C4C432P(B1)331,P(B2)；

C5C5C35532,P(3)P(B2)

5532122.4（次）

∴E23555∴P(2)P(B1)法二【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：

①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）

，

∴乙只用两次的概率为．

若乙验三次时，只有一种可能：

先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，

∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．

3．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：

(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数学期望．

解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．

(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得

214C3P(A)＝1－P(A)＝1－2＝1－＝．

55C6(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且

4514P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝1)＝2＝，

315CC662312＝，P(ξ＝3)＝＝，

22515C6C611P(ξ＝4)＝2＝．

C615P(ξ＝2)＝1

2

3

4 4121P

1551515141214∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．

3155151534.某仪表厂从供应商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，若3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．(1)若该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；

(2)若该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列与期望．

解

记3件元器件中有X件为不合格品．

C32718(1)P＝1－P(X＝0)＝1－3＝；

C2095(2)X的可能取值为：0、1、2、3，

2C3C1816284C16P(X＝0)＝3＝，

P(X＝1)＝3＝，

C2057C20191C28C314C164P(X＝2)＝3＝，

P(X＝3)＝3＝，

C2095C20285从而知ξ的分布列为

ξ

0

1

3∴X的分布列如下：

X P 0

28

571

8

192

8

953 1

285288811713E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 57199528528555.A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1,A2,A3，B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员

A队队员胜的概率

B队队员胜的概率

A1对B1

A2对B2

A3对B3

232525

1

33

53

5A队，B队最后所得分分别为，

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设（1）求，的概率分布； （2）求E，E

解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0

232P232P131P03P3根据题意知25253535253535358,2712223228,35535575

1231322,35535553253，所以

828,P1P2,7575

23,P3P0525P0P3P2P1（Ⅱ）E8282322210；

75755251523因为3,所以E3E

153

6．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券1一张，每张奖券的中奖概率为2，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．

(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；

(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．

1解

(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B4，2. 012∴P(X＝0)＝C441＝16，

112P(X＝1)＝C4441＝4，

3＝8，

1＝4，

1＝16. 212P(X＝2)＝C44312P(X＝3)＝C44412P(X＝4)＝C4其分布列为

X P 0

116

1

14

2

38

3

14

4 116

11(2)∵X～B(4，2)，∴E(X)＝4×2＝2. 又由题意可知Y＝2 300－100X，

∴E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100(元)．

即所求变量Y的数学期望为2 100元

7．（08全国2）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为10.999104．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为，

则~B(10，p)．

（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当40，

········································································································

2分

P(A)1P(A)1P(0)1(1p)10，

又P(A)10.99910，

44

故p0.001．

·······························································································

5分

（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出

1000050000，

盈利

10000a(1000050000)，

0盈利的期望为

E1000a100E005，0 ·0·········································

9分

由~B(104，103)知，E10000103，

E104a104E5104104a1041041035104．

E≥0104a104105104≥0

a105≥0

a≥15（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

························································· 12分

8.（2009北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立1的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min. 3(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

解

(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为

11141－×1－×＝. P(A)＝33327(2)由题意可得，ξ的可能取值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k”等价于事件“该1k24－k

(k＝学生在上学路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，所以P(ξ＝2k)＝Ck4330,1,2,3,4)．[来源:www.shulihua.net]

即ξ的分布列是

ξ

0

2

4

6

8 1632881P

8181278181所以ξ的期望是

16328818E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝. 818127818139．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．

(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

－－－解

(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A，乙不胜B，丙不胜C的事件．

因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，

－－由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，

－P(F)＝0.5. －－－红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为

－－－P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3. －－－－－－又由(1)知DEF，DEF，DE

F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，

－－－因此P(ξ＝0)＝P(DE

F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，

－－－－－－P(ξ＝1)＝P(D

EF)＋P(DEF)＋P(DE

F) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，

P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得

P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为：

ξ

P 0

0.1

1

0.35

2

0.4

3 0.15 因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6. 10.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P（ξ=0）=93

124399121144

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P（ξ=1）=

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P（ξ=2）=3299

121110220当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）32191

12111092203991323

所以，Eξ=0144422022010=11.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设这3张卡片上的数字之和为ξ．

(1)求E(ξ)和D(ξ)；

(2)若X＝3ξ－2，求E(X)，D(X)．

解：(1)3张卡片上的数字之和ξ的可能取值为6,9,12．ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则

3C87P(ξ＝6)＝3＝．

C101521C8C7ξ＝9表示取出的3张卡片上2张标有2,1张标有5，则P(ξ＝9)＝32＝．

15C102C118C2ξ＝12表示取出的3张卡片上2张标有5,1张标有2，则P(ξ＝12)＝3＝．

15C10∴ξ的分布列为

ξ

P 6

7

159

7

1512 1

15771∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8．

151515771D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36．

151515(2)∵X＝3ξ－2，∴E(X)＝3E(ξ)－2＝3×7.8－2＝21.4．D(X)＝9D(ξ)＝3.36×9＝30.24．

12.市环保局举办2016年“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．

(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“绿色环保标志”卡？主持人笑说：我只1知道若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率；

3(2)现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽．用ξ表示获奖的人数．求ξ的分布列及E(ξ)，D(ξ)．

C21n解

(1)设“环保会徽”卡有n张，由2＝，得n＝6. C103C224故“绿色环保标志”卡有4张．抽奖者获奖的概率为2＝. C1015

22·134，，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck(2)ξ～B4151515ξ

0

41

21C4··

15313

15k4－k(k＝0，1，2，3，4) 3

4 3142

2C4P 13

152·

1513

15223C42·

1513

152

1522821041－＝. ∴E(ξ)＝4×＝，D(ξ)＝4××1522515151513.（2009全国1）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。

14.（2009全国2）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。w.w.w..s.5.u.c.o.m

分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。

（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

11C4C68

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P

2C1015（III）的可能取值为0，1，2，3 1111221C3C4C6C3C4C4C2628，

P(0)21，P(1)2121C10C575C10C5C10C5752131C6C210P(3)21，P(2)1P(0)P(1)P(3)

75C10C57515.（2010全国1）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，

则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评

审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．

各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

16.（2010全国2）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】