小结主要内容及教案内容

圆锥曲线离心率（取值范围）教学设计

广州市第16中学 温伙其

考情分析：纵观近年的高考全国卷试题，离心率是圆锥曲线客观题的考查高频考点和重点，通常有求圆锥曲线的离心率和离心率取值范围两种题型，属于中档难度。

学情分析：本人任教两班为文科普通班，经过一轮复习，学生对圆锥曲线的离心率有了基本的认识，但对离心率求解方法处于离散零碎状态，特别是对离心率的取值范围无从入手。

基于以上考情和学情，本节课以题组为结构进行设计教学主线，目的是将求离心率（取值范围）具备共性的知识串联起来，让学生既系统全面掌握知识，又可以构建知识体系。

教学目标：

（1）掌握圆锥曲线离心率求值的途径；

（2）掌握圆锥曲线离心率的取值范围常见方法；

（3）学会代数法和几何法两个角度求解离心率（取值范围），并会优选数形结合或特例法用于客观题解题；

（4）通过多题一法提炼通性通法，通过题组教学使零碎知识结网成片，构建立体的知识大厦. 教学重点：

（1）掌握圆锥曲线离心率求值及其范围的基本方法；

（2）掌握圆锥曲线离心率求值及其范围问题中的数学思想. 教学难点：

（1）根据条件建立等式或不等式解决圆锥曲线的求值及其范围的问题；

（2）掌握圆锥曲线离心率求值及其范围问题中的数形结合、转化化归思想. 教学过程：

题组一

1.在等腰梯形ABCD中，

AB//CD，tanABC2，AB6，

CD2，以A、B为焦点的椭圆经过C、D两点，则此椭圆的离心率为（ ）

A. 225 B. 126 C. D.

222

2．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（

）

A．

B．

C．

D．

1

3．（2012•新课标Ⅱ）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=A．上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（

）

B．

C．

D．

4．（2015•新课标Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（

）

A．

B．2 C．

D．

小结：离心率求解的常见途径： 1.

直接求出a、c，求解e；

2.根据代数关系或几何特征构造构造a、c的齐次式，解出e；

3.利用点在曲线上。

题组二

1.已知抛物线y=8x的焦点到双曲线E：2﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（

）

A．（1，] B．（1，2] C．[，+∞）

D．[2，+∞）

x2y22.过椭圆C：221(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,ab且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2,若k

小结：思路 借助题目中的不等信息构造离心率不等式

解题步骤：

1.找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，

的范围等； 2.列出不等式，化简得到离心率的不等式，从而求解. 题组三

2

1,则椭圆C的离心率的取值范围是

．

2

1.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是

．

2.已知双曲线=1（a，b＞0）的左右焦点分别F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（

）

A．（）

B．（1，）

C．（1，）

D．（）

小结：思路 借助角的大小（钝角、锐角、直角）构造离心率不等式

解题步骤：

1.钝角、锐角可得向量的数量积大于0（小于0）；锐角（直角）三角形可得直角边和斜边大

小关系；

2.根据上述大小列出a,b,c的齐次不等式，转化为离心率的不等式. 题组四

1．（2017•新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线

﹣y=1的离心率的取值范围是（

）

A．（

，+∞）

B．（

，2）

C．（1，

）

D．（1，2）

2x2y21,则当m2,1时,该曲线的离心率e的取值范围是（ ）

2.已知二次曲线4m23265636， B．,A． C．, D．,22222222

小结：思路 运用函数思想求解离心率的不等关系

解题步骤：

1.根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关

系式；

2.通过确定函数的定义域；

3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.[

3

来源: 题组五

x2y21.设点P在双曲线221(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点F1、F2，ab|PF1|4|PF2|，求双曲线离心率的取值范围。

方法1.解：由双曲线第一定义得：|PF

1|4|PF2|联立解得：1||PF2|2a，与已知|PF8282|PF1|a,|PF2|a，由三角形性质|PFaa2c解得：得：||PF||FF|1212333351e。

3方法2.由点P在右支上，有：PF1ac，

方法3.由点P在右支上，有：PF2ca

2.如图，已知双曲线

＞

，

＞ 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使asin∠PF2F1=csin∠PF1F2，则该双曲线的离心率的取值范围是

________．

方法1.解：由正弦定理可得c•PF2=a•PF1，且PF1﹣PF2=2a，联立可得PF2=＞0，即e＞1，…①又PF2＞c﹣a，

∴PF2=

＞0，即得c﹣a≥c﹣a，化简可得c﹣2ac﹣a≤0，即e﹣2e﹣10，得1﹣

＜e≤1+

…②

222由①②可得e∈ ，

． 方法2. 三角形性质|PF1||PF2||F1F2|

x2y23.F1、F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝90°,则椭圆ab的离心率的取值范围是________．

方法1.图像法；

方法2.均值定理法；

→→222方法3. 转化法:

设P(x0,y0),椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝90°,即PF1·PF2＝x0＋y0－c＝0有c222解，转化为cxy2x0b有解，由ax0a，解得a22020b2g(0)g(x0)g(a)c2b2，所以b2c2c2b2，从而得2≤e<1. 4

2

方法4.范围法即0≤x0≤a，如下：

22→→x0y0设P(x0,y0)为椭圆上一点,则2＋2＝1. PF1＝(－c－x0,－y0),PF2＝(c－x0,－y0), ab22→→x0a2222222若∠F1PF2＝90°,则PF1·PF2＝x0＋y0－c＝0.∴x0＋b(1－2)＝c,∴x0＝a22c－b2c22. c－b22222∵0≤x≤a,∴0≤2≤1.∴b≤c,∴a≤2c,∴≤e<1.

c2202224.（2017年•广州一模）已知F1，F2分别是椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆

C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）

A．（，1）

B．（，1）

C．（0，）

D．（0，）

方法1.图像法，即椭圆存在有以F1F2为直径的圆内的点，从而得到b

•

＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．

解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，又F1（﹣c，0），F2（c，0），

又∠F1PF2为钝角，当且仅当

•

＜0有解，

即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+y02＜0，

即有c2

＞x02+y02有解，即

c2＞（x02+y02）min．又

y02=b2﹣

x02，

∴x02+y02=b2+

x02∈[b2，a2），即（x02+y02）min=b2．

故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴

＞

，即e＞

，又0＜e＜1，∴

＜e＜1．故选：A．

小结：思路 借助三角形三边大小关系和均值不等式构造离心率不等式

解题步骤：

1.利用

“焦点三角形”三边大小关系有两边之和大于第三边（两边之差小于第三边）；

PF1PF2 利用

“焦点三角形”+余弦定理+均值不等式有PF1PF2；

2x2y2 利用椭圆或双曲线本身的范围：如椭圆221a0，b0中，则axa；abP是椭圆上任意一点，则acPF1ac等．

2.根据上述大小列出a,b,c的齐次不等式，转化为离心率的不等式.

5

2

巩固提升练习

x2y21．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆221(ab0)的四个顶ab点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为

.

2.（2018年•广州一模）已知在等腰梯形ABCD中．AB∥CD，AB=2CD，双曲线M以A、B为焦点．且过C、D两点，点E在双曲线M上．若

，则双曲线的离心率为

3.（2000年•全国高考题）已知梯形ABCD中，|AB|2|CD|，

AEEC，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

反思： 23时，求双曲线离心率的取值范围。

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