1.1.1 命题教学设计模板

1.1

命题及其关系

1.1.1

命

题

仁寿县汪洋中学

教师

张米英

导入

在我们日常交往、学习和工作中，逻辑用语是必不可少的工具。因此逻辑用语的学习是很有必要的．

我们接下来就从命题开始学习．

新知

1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题．

2．判断为真的语句叫__真命题__，判断为假的语句叫__假命题__．

3．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有__真假__之分，而定理是__真__命题．

4．命题常写成“__若p，则q__”的形式，其中命题中的p叫做命题的__条件__，q叫做命题的__结论__．

预习测试

1．下列语句是命题的是

(

B

) A．“参加2016年里约热内卢奥运会的全体运动员”可以组成一个集合吗？

B．100101是整数

C．请解关于x的方程x2－x＋m＝0 D．今天的天真蓝呀！

[解析]

根据命题的定义知，选项B是命题．

2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是

(

B

) A．不是命题

C．假命题

[解析]

a>b⇒a＋c>b＋c成立，故选B．

3．由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写的命题正确的是

(

B

) A．若一个数不能被6整除，则这个数不一定被3整除

B．若一个数能被6整除，则这个数一定能被3整除

C．若一个数能被6整除，则这个数不一定能被3整除

D．若一个数不能被6整除，则这个数一定能被3整除

[解析]

由命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”改写为“若p，则q”的形式B．真命题

D．不能判断真假

为：若一个数能被6整除，则这个数一定能被3整除，故选B．

4．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是

(

C

) A．余弦值

C．一个角是第二象限角

B．第二象限

D．没有条件

[解析]

命题可改写为：若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C．

5．下列语句：

①mx2－x＋1＝0是一元二次方程；

②你是高中生吗？

③互相包含的两个集合相等；

④全等三角形的面积相等；

⑤抛物线x2－mx－1＝0与x轴至少有一个交点；

⑥又大又圆的红苹果真招人喜欢！

其中是命题的序号为__①③④⑤__；真命题的序号为__③④⑤. [解析]

由命题的定义可知①③④⑤是命题．①中当m＝0时，方程mx2－x＋1＝0不是一元二次方程，故为假命题；③④是真命题；⑤中Δ＝m2＋4>0，所以抛物线x2－mx－1＝0与x轴有两个交点，故为真命题．

师生互动探究

1

命题概念的理解

典例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)求证：3是无理数；

(2)x2＋4x＋4≥0；

(3)你是高一的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果. [思路分析]

由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．

[解析]

(1)是祈使句，不是命题．

(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，对于x∈R，可以判断为真，它是命题．

(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．

(4)是命题，可以判断为真．人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．

『规律方法』

判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：

1．必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．

2．其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．

〔热身练习1〕

判断下列语句是不是命题，并说明理由．

(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；

(2)x2－3x＋2＝0；

(3)函数y＝cos x是周期函数吗？

(4)集合{a，b，c}有3个子集．

[解析]

(1)是命题，满足指数函数的定义．

(2)不是命题，不能判断真假．

(3)不是命题，是疑问句．

(4)是命题．符合命题的定义．

2

命题真假的判断

典例2 判断下列命题的真假：

(1)形如a＋2b的数是无理数；

(2)负项等差数列的公差小于零；

(3)关于x的方程ax＋1＝x＋2有惟一解．

[思路分析]

运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．

[解析]

(1)假命题．如当a＝1，b＝2时，a＋2b是有理数．

(2)假命题．如数列－10，－8，－6，－4，－2，它的公差是2. (3)假命题．关于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有惟一解，所以是假命题．

『规律方法』

1.命题真假的判定方法

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断．

要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

2．一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．

3．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．

〔热身练习2〕

给出下列几个命题：

①若x、y互为相反数，则x＋y＝0；

②若a>b，则a2>b2；

③若x>－3，则x2＋x－6≤0；

④若a、b是无理数，则ab也是无理数．

其中的真命题有__1__个．

[解析]

①是真命题．②设a＝1>b＝－2，a>b，但a2－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．④设a＝(2)命题．

3

命题结构分析

典例3 指出下列命题的条件与结论．

(1)负数的平方是正数；

(2)正方形的四条边相等. [思路分析]

由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．

解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．

[解析]

(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．

(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．

条件为：“一个四边形是正方形”；

结论为：“这个四边形的四条边相等”．

『规律方法』

1.数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．

2．“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．

13．并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“是有理数”，“5>3”．

3〔热身练习3〕

把下列命题表示为“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)相似三角形的面积相等；

(2)平行于同一个平面的两平面平行；

(3)正弦函数是周期函数．

[解析]

(1)若两个三角形相似，则它们的面积相等．假命题．

(2)若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面平行．真命题．

(3)若一个函数为正弦函数，则它是周期函数．真命题．

2，b＝2，则ab＝(2)2＝2是有理数，假

易错防范

命题条件不明致误

典例4 将命题“已知c>0，当a>b时，ac>bc.”改写为“若p，则q”的形式. [错解]

若c>0，a>b，则ac>bc. [错解分析]

错误的根本原因是将“c>0”作为已知条件，实际上“已知c>0”是大前提，条件应是“a>b”，不能把它们全认为是条件．

[正解分析]

已知c>0是大前提．

[正解]

已知c>0，若a>b，则ac>bc. 〔热身练习4〕

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．

(1)乘积为1的两个实数互为倒数．

(2)奇函数的图象关于原点对称．

[解析]

(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．

p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．

(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．

p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．

应用于生活

命题及其关系的应用

数学来源于生活，反之又应用于生活，即数学对生活有很大的指导意义．数学中命题真假的判断是生活中逻辑推理的重要依据．

典例5 同住一个房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：

(1)A既不在修剪指甲，也不在看书；

(2)B既不在听音乐，也不在修剪指甲；

(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；

(4)D既不在看书，也不在修剪指甲；

(5)C既不在看书，也不在听音乐．

若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？

[解析]

由于以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下：

修剪指甲

看书

梳头发

听音乐

A不在做

A不在做

B不在做

B不在做

D不在做

D不在做

C不在做

C不在做

由表格看出：C在修剪指甲，B在看书．又由命题(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐，可知A在听音乐，最后我们确定出D在梳头发．

『规律方法』

此题条件较多，并且错综复杂，我们可借助表格来整理出其中的关系，再作出判断．

课堂测试

1．下列四个语句是命题的是

(

B

) ①2＋2是无理数；②1＋1>2；③奇数的平方仍是奇数；④连接A，B两点．

A．①③

C．④

B．①②③

D．②④

[解析]

①∵2＋2是无理数，故是命题；②1＋1＝2，故是命题；③是真命题，故是命题；④不能判断真假，故不是命题，故选B．

2．下列命题是真命题的是

(

A

) 11A．若≠，则x≠y

xyC．若x2＝y2，则x＝y

B．若x2>1，则x>1 D．若x

[解析]

B中，x2>1，∴x<－1或x>1，C中x<0时，x无意义，D中，当x＝－2，y＝2时，x2＝y2，故选A．

3．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”改写成“若p，则q”的形式：__若x＝2，则x2－3x＋2＝0__. 94．若“方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根”是真命题，则a＝

. 85．下列语句是命题的是__(3)(4)__. (1)证明x2＋2x＋1≥0；

(2)你是团员吗？

(3)一个正数不是素数就是合数；

(4)若x∈R，则x2＋4x＋7>0. [解析]

(1)(2)不是命题，(1)是祈使句，(2)是疑问句；而(3)(4)是命题，其中(3)是假命题，1如正数既不是素数也不是合数；(4)是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝2(x＋2)2＋3>0恒成立．故选(3)(4)．

课后作业

教材习题1.1A组第1题