1.2.1 充要条件第二课时教学实录

第2课时

命题及其关系、充分条件与必要条件（2）

教学目标：

1.理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

教学过程：

充分条件与必要条件的判断

(1)(2013·高考福建卷)设点

P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

m1(2)(2014·浙江省名校联考)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必nn要不充分条件是(

) A．m＞1，且n＜1

B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0

D．m＜0，且n＜0 解析：(1)当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．

m1m1(2)∵y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－＞0，＜0，即m＞0，n＜0，但此为充nnnn要条件，因此，其必要不充分条件为mn＜0. [答案]

(1)A

(2)B

充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：即根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或者y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

2．(1)(2014·东城区统一检测)若a，b是两个非零向量，则

“|a＋b|＝|a－b|”是“a⊥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2014·温州市适应性测试)已知q是等比数列{an}的公比，则“q＜1”是“数列{an}是递减数列”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：(1)选C．|a＋b|＝|a－b|⇔|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2⇔a·b＝0⇔a⊥B．

(2)选D．当q＜0时，等比数列{an}是一个摆动数列，不是递减数列，而数列{an}是递a1＞0a1＜0减数列⇒，或. 0＜q＜1q＞1

充分条件与必要条件的应用

1已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)＞0，若p是綈q的充分不必要条件，则实2数a的取值范围是________．

[解析]

綈q：(x－a)(x－a－1)≤0⇒a≤x≤a＋1. 由p是綈q的充分不必要条件知：

11a≤且a＋1≥1⇒0≤a≤. 221[答案]

[0，] 2

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．

3．若“x＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．

解析：由x2＞1，得x＜－1，或x＞1. 又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，

知由“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立，

所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案：－1 2

等价转化思想在命题判断中的应用

(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，(

) aA．若2＋2a＝2b＋3b，则a＞b

B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b

C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b

D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

[解析]

当0

成立．∴它的逆否命题：若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b成立，故A正确，B错误．当0

[答案]

A

(1)本题的解析用了等价转化思想，即充分利用原命题与逆否命题的等价a性．在“若2＋2a＝2b＋3b，则a>b”不易判断的情况下，巧妙地转化为判断该命题逆否命题成立．

(2)利用等价转化思想还可解决有关充要条件的一些问题．

已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

解：∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件，

∵q：1－m≤x≤1＋m，

∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，

∵p：－2≤x≤10，

∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．

∵p是q的充分而不必要条件，

m>0，∴PQ，∴1－m<－2，1＋m≥10，

m>0，或1－m≤－2，1＋m>10，

即m≥9或m>9.∴m≥9. 即实数m的取值范围是[9，＋∞)．

小结：

作业：