1.1.1 命题教学实录及点评

1.1

命题及其关系教学设计

河北滦县第二中学

熊晓杰

【教学目标】

知识与技能：

了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写；体会命题的逻辑性。

过程与方法：

通过学生对命题的判断，总结命题的概念，培养学生的自主学习的能力，引导学生学习判断命题的真假性，复习巩固以前所学的内容，提高学生掌握知识的牢固性和熟练程度，教会学生改写命题，能从新知识的角度解释所学内容，提高学生对旧知识的理解程度。

情感态度与价值观：

培养学生严密的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学生的学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生相互合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

【教学重点】命题的概念、命题的构成

【教学难点】分清命题的条件、结论和判断命题的真假

【教学过程】

一、设置情景

有一家主人是一个不善言辞的木讷之人，一天主人邀请张三、李四、王五三人吃饭,时间到了，只有张三、李四准时赴约,王五打来电话说:“临时有急事不能来了.”主人听到随口说了一句:“你看看,该来的没来.”张三听到，脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句:“哎，不该走的又走了.”李四一听大怒，拂袖而去，主人尴尬不知所措. 预学1:(1)张三和李四之所以生气走人,是因为主人的表达方式存在逻辑错误,“该来的没来”这句话等价于“来的都是不该来的”,“不该走的又走了”这句话等价于“该走的没有走”. (2)一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.命题的常见形式是“若p,则q”,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论. 议一议:如何理解命题概念中的“判断”? 【解析】所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含糊不清.命题的实质是对某一前提条件下的相应的结论的一个判断,这个判断可能正确也可能错误. 预学2:四种命题

对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的逆命题. 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作原命题的否命题. 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定

和条件的否定,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作原命题的逆否命题. 议一议:怎样区分命题的条件与结论? 【解析】一般地,在命题中,已知的事项为“条件”,由已知推出的事项为“结论”. 预学3:四种命题之间的相互关系

(1)原命题的形式:若p,则q; 原命题的否命题形式:若¬p,则¬ q; 原命题的逆命题形式:若q,则p; 原命题的逆否命题形式:若¬ q,则¬ p. ¬ p的含义是p的否定, ¬ q的含义是q的否定. ¬ p, ¬ q分别读作“非p”，“非q”. 议一议:所有命题都能写成“若p,则q”的形式吗? 【解析】任何命题都有条件和结论.数学中,一些命题表面上看不具有“若p,则q”的形式,如“对顶角相等”,但是适当改变叙述方式,就可以写成“若p,则q”的形式,即“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.这样,命题的条件和结论就十分清楚了. 预学4:四种命题真假性的关系

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

说明:(1)原命题与逆否命题的真假性相同,否命题与逆命题的真假性相同; (2)若两个命题互为逆命题(或互为否命题),则它们的真假性没有关系; (3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. 想一想:在“原命题、逆命题、否命题与逆否命题”四种命题中,真命题的个数可能为

. 【解析】因为原命题与逆否命题,逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0或2或4. 【答案】0或2或4 二、剖析重点难点

1.命题的构成形式及真假判断

例1(1)命题:弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧,将上述命题改为“若p,则q”的形式. (2)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假. ①已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2. ②当abc=0时,a=0且b=0且c=0. 【方法指导】首先确定命题的条件p与结论q,然后再写成“若p,则q”的形式. 【解析】(1)命题可改写为“若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过

圆心且平分弦所对的弧”.(2)①已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题. ②若abc=0,则a=0且b=0且c=0,是假命题.

变式训练1、将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假. (1)能被3整除的数一定能被6整除. (2)到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上.

【解析】(1)命题改写为“若一个数能被3整除,则这个数一定能被6整除”,是假命题. (2)命题改写为“若一个点到已知线段两端点的距离相等,则这个点在这条线段的垂直平分线上”,是真命题. 2.四种命题间的关系

例2、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断各命题的真假. (1)若tan α<0,则α是第二象限角. (2)已知a,b,c∈R,若a,b,c成等比数列,则b²=ac (3)给出两个数x,y,若x>y,则|x|>|y|. 【方法指导】明确每个命题的条件和结论是解决此类问题的前提,在判断命题的真假时,注意利用等价命题的思想进行判断,对于假命题,可以通过举反例说明. 【解析】(1)原命题是假命题,因为α也可能是第四象限角. 逆命题:若α是第二象限角,则tan α<0.它是真命题. 否命题:若tan α≥0,则α不是第二象限角.它是真命题. 逆否命题:若α不是第二象限角,则tan α≥0.它是假命题. (2)原命题是真命题. 逆命题:已知a,b,c∈R,若b²=ac,则a,b,c成等比数列.它是假命题. 否命题:已知a,b,c∈R,若a,b,c不成等比数列,则b²≠ac.它是假命题. 逆否命题:已知a,b,c∈R,若b²≠ac,则a,b,c不成等比数列.它是真命题. (3)原命题是假命题,当x=-1,y=-2时,|x|<|y|. 逆命题:给出两个数x,y,若|x|>|y|,则x>y.它是假命题. 否命题:给出两个数x,y,若x≤y,则|x|≤|y|.它是假命题. 逆否命题:给出两个数x,y,若|x|≤|y|,则x≤y.它是假命题.

变式训练2、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假. (1)若a>b,则ac²>bc². (2)两个无理数的积仍是无理数. 【解析】(1)逆命题:若ac²>bc²,则a>b.它是真命题. 否命题:若a≤b,则ac²≤bc².它是真命题. 逆否命题:若ac²≤bc²,则a≤b.它是假命题.

(2)两个无理数的积仍是无理数. 逆命题:乘积为无理数的两个数都是无理数.它是假命题. 否命题:两个不都是无理数的积也不是无理数.它是假命题. 逆否命题:乘积不是无理数的两个数不都是无理数.它是假命题.

三、技法归纳

1.判断一个语句是否为命题的一般思路:先看该语句是否为陈述句,若不是陈述句,就不是命题,若是陈述句,再看该语句是否能判断真假,若能判断真假就是命题,否则,就不是命题. 2.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论,若原命题不是“若p,则q”的形式,则改写成“若p,则q”的形式,再写出其他命题. 3.若两个命题互为逆命题或互为否命题,则它们的真假性没有关系;若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性,所以当一个命题不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.四种命题为真命题的个数只能为0或2或4. 四、直击高考

(2015年山东卷)设m∈R,命题“若m>0,则方程x²+x-m=0有实根”的逆否命题是(

). A.若方程x²+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x²+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x²+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x²+x-m=0没有实根,则m≤0 【解析】“方程x²+x-m=0有实根”的否定是“方程x²+x-m=0没有实根”,“m>0”的否定即“m≤0”,故命题“若m>0,则方程x²+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x²+x-m=0没有实根,则m≤0”. 【答案】D