6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质国家优质课一等奖

函数yAsin(x)的图象

教学设计

上海市大同中学

鞠妍

一．教材分析

1．教材的地位和作用

三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决实际问题的工具，又是学习高等数学及其他学科的基础,在解决这个问题的过程中贯穿了由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想.同时向学生展示观察、归纳、类比、猜想等数学思想方法，通过本节内容的学习可以使学生将已有的知识形成体系，对于进一步探索、研究其他数学问题有很强的启发与示范作用.教学分两个课时完成: (1)函数ysinx到yAsinx,(A0,0)的图像变换规律的探索. (2)函数yAsinx,(A0,0)的图像的简单作法及应用. 2.教法分析

通过创设情境，布置学习任务单的形式引发学生兴趣，引导学生在探究中发现数学模型。学生现场动手操作，自主探究,通过对三角函数图像的变换进行“数学实验”,亲身经历并探求图像变化的一般规律．Geogebra软件操作简单，学生容易掌握，通过学生主动参与，相互合作，营造和谐活跃的课堂氛围. 3.学情分析

本节课是在学生已经学习了正、余弦函数的图像和性质的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的函数类型：函数yAsinx,(A0,0)的图像.

二.教学目标

1. 结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义，借助Geogebra画出该函数的图像，观察并研究参数A,,对函数图像的影响.

2. 在自主探究过程中，感悟观察、归纳、类比、联想等数学思想方法，体会构建数学模型后探究分析模型性质的方法；

3.

在交流分享成果的活动中，培养探索能力、钻研精神和科学态度，形成团结协作的精神及学习数学的兴趣.

重点：函数yAsin(x)的图像及参数A,,对函数图像的影响

难点：函数yAsin(x)A0,0的图像与函数ysinx的图像之间的变换关系. 三.教学过程

（一）学习任务单分享展示：

学习任务单：

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用。明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画绘了筒车的工作原理。卷十七:“﹝水转筒车﹞日夜不息，绝胜人牛所转。”

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。你能用一个合适的数学模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？

思考：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

（学生交流分享建模成果，并引出课题。）

总结:匀速圆周运动、简谐运动和交流电的电磁振动都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地表述它们的运动变化规律。

【设计意图】以上学习任务单是课前布置的预习作业，由中国古代发明筒车入手，建立三角函数数学模型。

（二）yAsin(x)图像探究 探究活动一：研究参数A,,对函数yAsin(x)图像的影响？你认为这三个参数应按怎样的思路进行探究？

（1）思考：函数的图像变换与A,,有怎样的关系？

（2）一般化：对任意的A,,，结论是什么样.

【设计意图】利用Geogebra软件，学生开展任务驱动式的探究学习，提高学生参与探究的积极性。学生可以在教师指导建议下进行研究，也可以自主合作探究。

探究活动二：函数yAsin(x)的图像可由ysinx图像经过哪些图形变换得到？

函数y3sin(2x)的图像可由ysinx图像经过哪些图形变换得到？

3请借助Geogebra画出该函数的图像,并对平移变换和伸缩变换进行探讨.(小组讨论)

你能总结一下从正弦函数图像出发,通过图形变换得到yAsin(x)

A0,0图像的过程与方法吗? 方案1. A

(1)正弦曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,(横坐标不变)曲线就是函数yAsinx的图像;(2)使曲线上各点的横坐标变为原来的(3)再把曲线向左(右)平移||1倍,(纵坐标不变)得到函数yAsin(x)的图像;个单位长度,得到函数yAsin(x)的图象;

方案2. A

（1）正弦曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,(横坐标不变)曲线就是函数yAsinx的图像;(2)把曲线向左(右)平移个单位长度,得到函数yAsin(x)的图象;

(3)曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,(纵坐标不变)得到函数yAsin(x)的图象;【设计意图】总结用参数思想探究函数yAsin(x)的图像变换过程.领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

(三)课堂小结

函数图像变化多

最值只由振幅说

定横伸缩

周期变化同伸缩

坐标横移最复杂

因素有,

伸缩平移都别怕

只有x会变化

(四)回家作业

1.练习册-习题6.3A组

2.拓展题

一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d (单位:m,在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t之间(单位:s)的关系为

dAsin(t)K(A0,0,)

22(1)求A,,,K的值(精确到); (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点?(精确到0.01s)