最简三角方程教学设计内容推荐

最简三角方程（第1课时）

执教：何俊阳

时间：2019年5月15日（周三）下午第一节

地点：B409 班级：高一（7）班

一、教学内容分析

1.教材分析

《最简三角方程》是高一第二学期三角章节最后一个内容，内容包括最简三角方程解集的推导以及解较简三角方程，课时安排上计划两个课时，今天是第一课时.最简三角方程是对三角函数和反三角函数的综合应用. 2.学情分析

最简三角方程是对所学过的许多三角知识进行应用，学生在前边已经学习过诱导公式、三角函数性质及图像、反三角函数等知识，在此基础上学习最简三角方程符合同学们的认知规律. 二、教学目标

1.经历sinxa的解集的推导过程，掌握其解集形式. 2.能够根据sinxa解集研究方式，写出cosxa,tanxa的解集. 3.会解简单三角方程（形如Asinxa，AsinxBsinxC等）．

24.理解方程与函数的紧密联系，学会利用函数解决方程问题，进一步提高数形结合思想. 三、教学重点及难点

重点：最简三角方程的解集，解简单三角方程的思想与方法：数形结合、整体法等. 难点：sinxa解集推导.

四、教学过程

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1、三角方程定义

前边学习了反三角函数，我们知道，如果已知一个三角比的值，要求某一个区间内与它对应的角，可以借助反三角函数来表示这个角.我们今天就来研究一下如何把所有满足条件的角都表示出来.我们把这类问题叫做解三角方程. 那么什么是三角方程? 所谓方程就是含有未知数的等式，三角方程就是含有未知数的三角函数的方程. 满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集. 在以往的学习中，比如学习解一元二次方程，我们是从最简单的形式开始研究的，这里一样，我们也从最简三角方程开始研究. 在三角方程中，形如sinxa,cosxa,tanxa的方程叫做最简三角方程. 2、探究方程sinxa的解集

引例1、求方程sinx1的解集 3问：这个方程有解吗？有多少个解？为什么？

答：前边我们在研究方程解的个数问题，往往会转化为函数交点问题.这里可以转化为函数ysinx与直线y1的交点问题.我们知道，函数的交点个数3对应方程解的个数，所以方程有无数多个解. （几何画板显示图像）

设计意图：明晰方程与函数的紧密关系，方程解的个数转化为两个函数图像的交点个数，培养学生数形结合、转化的数学思想. 问：我们知道，函数交点的横坐标对应方程的解. 这些交点的横坐标有什么关系？

答：由于正弦函数是周期函数，相邻的交点的横坐标差2，也就是说如果x02

是方程的解，那么x02k,kZ也是方程的解. 所以我们要解决这个方程的解，只需要找到一个周期内的解，再加上周期的整数倍即可. 设计意图：通过图像，以及正弦函数的周期性，让同学们明白各个解之间的关系. 问：我们可以先表示出哪个周期的解呢？

析：根据学生回答进行分析，其中一个角可以直接利用反三角表示为xarcsin1，另一个解和这个解的关系是关于x对称，则可以表示为321xarcsin. 3所以方程的解集为

11xx2karcsin,kZxx2k1arcsin,kZ. 33设计意图：反三角函数以及对称性的简单应用. 问：这个解集形式看起来有点复杂，可以简化书写吗？

析：我们知道n2k,kZ表示的是偶数，n2k1,kZ表示的是奇数，这两个集合的并集用通俗的语言就是说：遇到的偶数倍，只需加上arcsin13就是方程的解；遇到的奇数倍，只需减去arcsin1就是方程的解.所以如果3遇上k,kZ，就只要看k是奇数还是偶数，对应的解集就能表示为1kxxk1arcsin,kZ. 3设计意图：数学追求简洁美，形式上简化. 3

针对上述一个周期的选取：（再解方程sinx）

如果学生回答①x0,2，对于方程sinx131来说，一个角的表示需要3利用xarcsin的对称关系表示，另外一个角还需要再用一次对称关系. 13为了能直接用反三角函数表示一个角，我们选取的区间应该包含②x,，对于方程sinx,. 221来说，两个解关于x对称；

321 对于方程sinx来说，两个解关于x对称；

32也就是常数符号不一样时，两个解的关系就不一样，我们不能统一表示，那么在解决一般问题时就会比较繁琐. 我们能不能选择一个区间能够简化这些问题呢？

③x3,,常数a1,1时，两个解总是关于x对称. 2221时，首先转化成函数图像问题，发现方程3小结：刚刚我们在解方程sinx解的情况；然后再找到一个周期的解；最后再加上周期的整数倍.

探究方程sinxa的解集

首先转化成函数图像问题，当a变化时（几何画板演示），方程解的情况不一致，所以分类讨论，分类的标准是a1,1,a1,a,11,.

问：方程sinxa,a1,1的解集如何？

和方程sinx1研究方法一样，我们需要先找到一个周期的解，然后再加上3周期的整数倍. 4

根据前边的分析，我们选择x3,这一个完整的周期，一个解直接用22反三角函数表示，另外一个根据对称性写出. 所以方程的解集为

xx2karcsina,kZxx2k1arcsina,kZ，

简写为xxk1arcsina,kZ

设计意图：由刚才特殊情况的分析，学生应该掌握了解最简三角方程的步骤，这里希望同学们能简单应用一下. 问：a1呢？

答：a1时，xx2kk,kZ

2a1时，xx2k,kZ

2设计意图：当a1时，其实也可以写成上述解集的形式，单独写是因为是正弦函数取得最值的地方，比较特殊. 问：a(,1)(1,)呢？

答：无解，因为函数ysinx与直线无交点，解集为空集. 设计意图：解的情况和前两种不一致，分开讨论. 深化数形结合的思想，希望同学们能够从图形上看出方程解的情况. 3、探究方程cosxa,tanxa的解集

问：根据我们刚刚探究方程sinxa的解集的方法，我们应该怎样研究方程2cosxa的解集？

答：转化成函数ycosx的图像和直线ya的交点问题. 由于a的取值不同，仍然需要分类讨论，分类的标准

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a1,1,a1,a,11,. 当a1,1时，由余弦函数的周期性，我们需要选择一个周期，写出一个周期的解，再加上周期的整数倍即可. 问：那么方程cosxa我们可以选取哪个区间呢？

答：x,，也即把正弦的区间向左平移个单位. 2如果学生回答不是这个区间，可以追问余弦函数和正弦函数什么关系？向左平移个单位.解释这样选择区间后一个解可以直接用反三角函数表示，另外2一个根据对称性写出. 设计意图：根据方程sinxa解集的探究方式，能够简单的类比应用，这里希望同学们把握余弦函数和正弦函数的关系. a1,1时，x|x2karccosa,kZ.a1时，xx2k,kZ

a1时，xx2k,kZ

a,11,，无解，解集为空集. 问：如何研究方程tanxa的解集？

答：转化为函数ytanx和直线ya的交点问题，当a不断变化时，方程总是有无数多个解. 正切函数也具备周期性，同样我们只需要找到一个周期的解，再加上周期的整数倍. 问：方程tanxa我们选择哪个区间呢？

答：

,

226

析：在,中的解我们可以直接用反正切去表示，然后再加上周期的整22数倍即可. 方程tanxa的解集为x|xkarctana,kZ

析：在,中的解我们可以直接用反正切去表示，然后再加上周期的整22数倍即可. 方程tanxa的解集为x|xkarctana,kZ. 例2、求下列方程的解集. （1）2cosx

（3）3sinxcosx0; （4）3sinxcosx1,x0,；

（5）cosx

设计意图：简单三角方程解集的应用，能够利用平方关系、辅助角公式、因式分解等转化成简单三角方程，进而求解.

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23x30

； （2）2cos0； 22323sinx0

（6）cos2xsinx0. 2

4、小结

（1）探究了最简三角方程sinxa的解的情况.（利用图像，先看是否有解，有多少个解，解之间有什么联系）

如果有解，先找到一个周期内的解，选择的这个周期一个解要能够直接利用反三角函数表示，另外一个解通过对称性给出；最后再利用周期性写出所有的解. （2）利用同样的研究方法给出了最简三角方程cosxa,tanxa的解的情况. （3）试着解决了一些简单的三角方程. （4）解方程sinxa，也就是研究函数fxsinxa的零点问题，所以本节课也给出了研究周期函数零点问题的方法，在以后的学习中遇到一般周期函数零点问题我们也可以采用同样的思考方法. （5）数学思想方法体现：数形结合、转化、分类讨论、类比、由特殊到一般、化归. 设计意图：引导学生自我总结并发言，老师适当评价，让同学们对知识结构有更清晰的认识，以后的学习中能够解决一些类似的问题. 五、作业设计

练习册习题6.5 A组 1、2（1）（3）、3（1）、4 六、板书设计

最简三角方程

PPT演示

几何画板演示

例题

sinxa 解集

cosxa 解集

tanxa 解集

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