信息技术应用 图形技术与函数性质特级教师教学实录

高中数学选修 1—1（文）教学案

§3.3 导数在研究函数中的应用

学习目标：理解极大值、极小值的概念；掌握利用导数求函数的极值的步骤和方法. 学习重难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 学习过程：

一、复习回顾

1、设函数

y 

f (x) 在某个区间（a, b）的导数

f (x)  0 ，那么函数

y 

f (x) 在区间（a, b）上是 ；如果在区间（a, b）上 ，那么函数

y 

f (x) 在（a, b）区间上是减函数. ；⑵求

f (x) ，⑶令

f (x) =0 解出

，由此确定

f (x) 的2、求函数单调区间的步骤：⑴求函数

y 

f (x) 的 ；它们把定义域分成几个区间，考查在这几个区间内 单调性和单调区间. 二、新课学习

思考并回答

：在下图中，函数

y 

f (x) 在

x1、x2、x3、x4

等点的函数值与这些点附近的函数

值有什么关系？

y 

f (x) 在这些点的导数值是多少？在这些点附

近，

y 

f (x) 的导数的符号有什么规律？

比如，

y 

f (x) 在点

x 

x1 的函数值

f (x1 ) 比在点

x 

x1 附近

其它点的函数值都 f (x) ，

f (x1 ) = ；且在点

x 

x1 附近的左侧

O a x1 y

yf(x)

x2 x3 x4

b x

0，右侧

f (x) 0. y 

f (x) 在点

x 

x2

的函数值

，

f (x2 ) = f (x2 ) 比在点

x 

x2 附近其它点的函数值都 0，右侧

f (x) 0. ；且在点

x 

x2 附近的左侧

f (x)

类似地，函数

y 

f (x) 在其它点的函数值的特征我们都可以类似地得出. 我们把点

x2

叫做函数

y 

f (x) 的极小值点，

f (x2 ) 叫做函数

y 

f (x) 的极小值；点

x1

叫做函数

y 

f (x) 的极大值点，

f (x1 ) 叫做函数

y 

f (x) 的极大值.即：

如果对

x0

附近的所有点，都有 ,则

f (x0 ) 是函数

f (x) 的一个极大值，记作

y 极大值= ,则

f (x0 ) 是函数

f (x) 的一个极小值，记作

y 极小值

f (x0 ) ；如果对

x0

附近的所有点，都有 = f (x0 ) . 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值) 极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 . 注意：函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于其极小值. 求函数

y f (x) 的极值的方法与步骤是：

（1）

确定函数的定义域；

（2）

求导函数

f (x) ，令

f (x) =0 解得其根；

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（3）

用

f (x) =0 的根顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查

f (x) 在方程

根

x0 左右的值的符号.如果在

x0 附近的左侧（

x 

x0 时）

f (x) 0，右侧（

x 

x0 时）

f (x) 0，那么

f (x0 ) 是极大值.如果在

x0 0，右侧（

x 

x0 时）f (x) 0，

附近的左侧（

x 

x0 时）f (x)

那么

f (x0 ) 是极小值.

极小值

极大值

【例

1】若关于x的方程x－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是(

)

3

总结：在求函数的极值时，列表是非常明确而有效的方法，今后的解题要充分的利用这一有效步骤. 思考：若求得某点处的导数值为

0，此点一定是极值点吗？为什么？举例说明.

13f(x)xx22ax1，若函数

f(x)在(-2,2)上有极值，则实数a 的取值范 【例

2】已知函数 3围为 .

0

1x3a2(,4)内有极值点，则实数a的取值范围f(x)xx1 【针对训练】若函数 在区间 332是 . x1x2aa1的解集为空集,则实数a的取值范围是 【例

3】关于x的不等式 2

【例

4】已知函数 ,f(x)xax2若 f(x)x4的解集包含 1,2，求a的取值范围.

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f(x)x2axlnx(aR)【例

5】设函数 . 若函数f(x)在区间 0,1上是减函数,求实数a的取值范围.

三、回顾总结

求可导函数

f(x)的极值的步骤和由导函数的正负来确定原函数的单调性进而切点极值点.而导函数的正负更多地是利用导函数图象. 含参问题和恒成立问题是函数问题中的一类典型题型，是数学思想和方法的体现，认真思考与讨论，进而总结解决该类问题的措施，

有助于提高对数学认识的深刻性．

四、课后作业

《金太阳导学测评》P59-60 №：1~10 五、课后反思