5.1 任意角及其度量教学设计及教案分析

第五章

三角比

5.1 任意角及其度量（第二课时）——弧度制

【教学目标】

(1) 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

(2) 了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；

(3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；

(4) 在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；

(5) 通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.

【教学重点与难点】

重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．

难点：弧度制定义的理解．

【教学过程】

引入

我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度作为单位来度量角，1的角是如何定义的？ 我们规定把周角的1作为1度的角．

360把用度作为单位来度量角的制度叫做角度制.

例：已知三角形中两个内角分别为6032'25''，4518'20''，求它的另一个内角的大小.

在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．

弧度制的概念

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧AB的长等于半径r，弧AB所对的圆心角AOB就是1弧度的角，弧度制的单位符号是rad，读作弧度．

图1 AOB的弧度数lrl2r1 AOC的弧度数2

rrrr提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？

若弧是一个整圆，则其圆心角的弧度数是多少？

因为半圆的弧长lr，其圆心角的弧度数是lr，同理，若弧是一个整rr圆，其圆心角的弧度数是l2r2．

rr

在0到360的角的弧度数l必然适合不等式02，角的概念推广后，r弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l4r，则这个圆心角的弧度数是l4r4，由此我rr们给出弧度制的定义：一般地，

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值l，其中l是以角作为圆心角时所对的弧长，

是圆的半r径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？

即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？ （易证以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．）

l，可以得到lr，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对rnr值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式l要简单．

180因为[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学科网]问题：试用角的弧度数表示扇形的面积公式.

扇形面积公式：S11lr||r2. 22角度制与弧度制的互化

用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知道：[来源:学.科.网Z.X.X.K]若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是2，而在角度制里它是360，因此3602(rad)，两边除以2，得180(rad)若将等式两边同除以180，得1180(rad)0.01745(rad)；

同理，若将等式两边同除以，得1(rad)18057.3（即5718'）

角度制与弧度制的比较

引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①

弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②

1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1是圆的1所对的圆360心角的大小；③

不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．

角的集合与实数集R之间的一一对应

用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R之间建立这样的一一对应关系（如图2所示）．

正数

正角

零

零角

负数

负角

图2

每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应．

[说明]以后我们将要学习的三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中普遍采用弧度制，这是重要的原因之一．

例题分析

例1：把角6730'化为弧度制.

[来源:学科网]答：6730'67.5例2：把角18067.53(rad).

84(rad)化为角度制.

544180(rad)144.

答：55[说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住180这个关键．

下面请大家写出一些特殊角的弧度数．

角度

按从左至右顺序其答案是：0、

弧度

233、45、、90、、、150、180、、34263360．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角3就表示是3弧度的角，cos就表示弧66度的角的余弦，即coscos303．

62例3：计算下列各式的值

(1) sin (2) tan1.5(精确到0.01) 4

2；

42

（2）tan1.514.12. 答： (1) sin[说明]第（2）小题使用计算器计算，教师可提醒学生注意计算器的设置，需根据问题，选择角度制还是弧度制. 例4：下列各角中哪几个是第二象限角？

(1) 2006 (2) 1998 (3) 2003 (4) 9 (5) 4 答：(1) 20065360206

(2) 19986360162

(3) 200321001

(4) 92(92)

(5) 42(24)

从而可知(2)、(4)、(5)所给的角在第二象限内.

[说明] ①

用弧度制表示终边重合的角的方法2k(kZ)；

②

把一角化为2k形式，其中kZ,[0,2)，从而可判断角所在的象限．

③

在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如{|2k

30,kZ}

写法不妥．

问题拓展

[来源:学|科|网](1) 在(4,4)内与58终边重合的角是___________.

7(2) 圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________.

(3) 在扇形AOB中，AOB90，弧长为l，则此扇形内切圆的面积是___________.

答：(1) 16212264(322)2,,,；(2) 3；(3)l.

7777【教学反思】

1、

要使学生理解弧度制与引入弧度制的必要性.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难. 首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是六十进制，而弧度制却是十进制；其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单.

在教学时，通过弧度制与角度制对比分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法具有优越性；

2、

关于弧度制与角度制之间互化，教学时要抓住180这个关键引导学生.

3、

教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致.

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附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060