4.6 对数函数的图像与性质公开课教案

《对数函数的图像与性质》教学设计

上海市市东实验学校（市东中学）

张哲峰

【摘要】不同于以往学习函数先研究性质再观察图像的顺序，《对数函数的图像与性质》这节课旨在学习指数函数的图像与性质之后，利用指数函数与对数函数互为反函数，来研究对数函数的图像与性质．在教学过程中，重视类比、数形结合、分类讨论等思想方法的渗透，培养学生严谨、求实的学习态度．

【关键词】反函数，对称，底数，性质

一、教学设计说明

本节课是沪教版高一第二学期第四章幂函数、指数函数和对数函数的第六节内容．在此之前学生已经学习了指数函数的性质与图像，对数概念及其运算，反函数的概念，了解在同一坐标系中，原函数与反函数图像之间的关系．本节课旨在利用对数函数与指数函数互为反函数的特点来研究对数函数的图像与性质，提供了一种新的研究函数的方法．在学生探究对数函数的过程中，渗透类比、数形结合、分类讨论、特殊到一般等数学思想，有利于培养学生探究新知的能力、形成数学素养．由于是利用函数图像的对称关系由已知函数研究新的函数，所以借助几何画板演示，让学生直观观察到底数的变化对函数图像带来的改变以及原函数与反函数图像的公共点位置的可能情形，对于学生理解函数图像的形成也有很好的作用．

二、教学目标及重点难点

（一）教学目标

知识与技能：理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质与图像，应用对数函数

的性质解决简单问题；

过程与方法：利用原函数与反函数的关系，结合几何画板直观演示，推导对数函

数的图像与性质，并观察随着底数的变化，对数函数图像的变化趋

势；渗透类比、分类讨论、数形结合的思想方法．

情感态度与价值观：感受事物的特殊性与一般性之间的关系，形成严谨、求实的

科学态度．

（二）教学重点难点

重点：由对数函数与指数函数互为反函数的关系，研究对数函数的图像与性质；

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难点：对数函数ylogax（a0，a1)的图像与底数a的关系．

三、教学过程

（一）预习引入

1、请同学回忆指数函数的性质和图像？（导学案提前下发，学生课前完成表格填写，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、定点、图像）

2、函数存在反函数的充要条件是什么？

3、指数函数存在反函数吗？

4、如何求y2x的反函数？

设计意图：通过复习指数函数的性质与图像，设计表格让学生填写，为接下来从哪几个维度研究对数函数做好铺垫；问题2~4既是对反函数的复习，又自然引出了对数函数的概念，强调了对数函数是指数函数的反函数这一属性，为后续研究对数函数的方法奠定了基础．

（二）探究活动

问题1、指数函数yax(a0,a1)的反函数是什么？

问题2、你能做出ylog２x、ylog３x的图像吗？

设计意图：引导学生根据互为反函数的图像之间的关系，利用几何画板完成．先取函数y2x图像上的一个点P，作出该点关于直线yx的对称点P，通过点P的运动，得到点P的轨迹即对数函数ylog２x的图像．多数学生对“函数图像是由点构成的”认知停留在表面，这在学生之前求函数解析式时的表现就可看出，这里是一个比较好的契机，用几何画板直观演示画对数函数图像的过程，对于学生的后续认知有很大的好处．

问题3、你能概括对数函数ylogax（a1）的图像与性质吗？能证明你的结论吗？

在做出ylog２x、ylog３x的图像后，请学生归纳当a1时，对数函数ylogax图像与性质；教师把底数a定义为平面上的线段长，通过几何画板绘制对数函数ylogax的图像．学生完成填写对数函数ylogax（a1）性质的表格；并通

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过小组合作，证明相应的性质；

设计意图：由两个特殊的函数图像概括一般函数的图像，需要一定的归纳能力，并提出了论证的要求，借由前面的铺垫，引导学生利用反函数的性质、指数函数yax（a1）的性质推导当a1时对数函数的性质，对数函数的性质全部可由指数函数的性质得到，这个过程培养了学生类比的思想方法及合作探究的能力．

问题4、你能归纳当0a1时，对数函数ylogax图像与性质吗？请学生通过小组合作完成．

设计意图：以上两步是类比的过程，完全是重复前面的步骤，强化学生记忆．

小结：对数函数ylogax（a0，a1)图像与性质；

师生一起完成关于对数函数的图像与性质的整张表格填写．

问题5、在同一坐标系中，如何区分出ylog２x、ylog３x的图像？

设计意图：这个问题旨在引导学生进一步观察对数函数图像的变化规律，在两个大致图像的基础上，强调数学的精确性，培养学生严谨的学习态度．

问题6、同底数的指数函数与对数函数的图像关于直线yx对称，它们有没有公共点呢？如果有，那么公共点会有几个呢？出现在什么位置呢？

图1

设计意图：教师利用前面的几何画板，拖动线段长度来改变底数大小，让学生观察指数函数与其反函数的图像从没有公共点到出现一个公共点再到出现多个公共点．互为反函数的两个函数图像的公共点可能在直线yx上（见图1），也

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可能关于直线yx对称（见图2）．这个结论不容易证明，也很难徒手画出公共点关于yx对称的情形，学生很难理解，因为本节课借助几何画板，可以做出准确的图像，便于学生理解，培养了学生数形结合的能力，及严谨求实的学习态度．

图2 （三）简单应用

练一练：比较log32与1的大小（不用计算器）．

设计意图：利用对数函数的单调性可以比较两个同底对数值的大小，前提是同底数．

例1、利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

（1）log35和log37；

（2）log0.53和log0.5；

（3）loga11和loga；

23设计意图：应用对数函数的性质，解决简单问题，培养学生分类讨论的思想方法．

（四）课堂小结

（1）对数函数与指数函数互为反函数；

（2）对数函数的图像与性质；

（3）对数函数与指数函数图像的交点可能在直线

4 yx上，也可能关于直线yx

对称；

四、课后反思

教材设计了不同于之前研究函数的方法，采用了先图像再性质的研究过程，即先由指数函数的图像关于直线yx对称得到对数函数的图像，再结合其图像得出对数函数的性质．这样的设计以实例加深学生对反函数的理解，并利用互为反函数的两个函数之间的联系来说明对数函数性质，然而这样处理对于对数函数单调性的论证稍显随意．究竟是严格证明其性质还是采取教材里的处理方法呢？备课时笔者在这里纠结了很久，思考再三，笔者还是尊重教材的处理方法，但也做了一点补救，在前面反函数的教学中，增加了原函数与反函数的单调性之间的关系，并进行了数学证明，这样在本节课的教学中，可以由指数函数的性质、对数函数与指数函数互为反函数，得到对数函数的全部性质．教师在备课时既要努力弄清楚并贯彻教材的设计意图，也要根据实际情况做出一些处理．

本节课教学使用几何画板，取得了比较好的效果，准确、直观、清晰地展示了图像的对称关系，并直观展示了函数图像的动态生成过程和底数变化时函数图像的变化过程，对学生理解带来了很大的帮助，有助于学生形成点运动生成函数图像的认识．几何画板的使用也带来了问题，就是学生徒手作图的能力缺乏锻炼，所以在最后的例题教学时，应该着重强调作图的规范性，并让学生自己作出函数的大致图像，加深理解函数的性质对函数图像的影响．本节课是在提出的一系列问题的基础上展开的，问题驱动教学是目前比较流行的教学组织形式，可以提高学生课堂专注力，激发学生思维，从而提高课堂效率，但对问题的设计要求比较高，必须有明确的指向性，要能激发高质量的思维，从这两点来说，本节课的设计还是存在不足，需要在今后的教学中继续且思考且实践，努力改进．

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