习题2.3第一课时教学设计

双曲线复习课

最新考纲

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 教学重点：双曲线性质的灵活运用

教学难点：双曲线性质与其他知识相结合

知

识

梳

理

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a

(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；

(3)若a>c时，则集合P为空集.

椭圆

双曲线

MF1|+|MF2|=2a

|F1F2| <2a

定

义

||MF1|－|MF2||=2a

|F1F2| _>__ 2a

当|F1F2|=2a时，动点的当|F1F2|=2a时，动点的轨轨迹为：一条线段

迹为：两条射线

当|F1F2|>2a时, 动点的当|F1F2|<2a时, 动点的轨轨迹为：不存在

标准

方

程

x2y1(ab0)a2b2y2x221(ab0)2ab2迹为：不存在

22 xy1(a0,b0)a2b2y2x221(a0,b0)2ab

a.b.c的关a>b>0, a2= b2+ c2

a＞0，b＞0 ,c2 =a2＋b2

系

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0)

y2x2a2－b2＝1 (a>0，b>0) 图

形

范围

对称性

顶点

性

质

渐近线

离心率

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

A1(－a，0)，A2(a，0)

by＝±ax ce＝a，e∈(1，＋∞)

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫A1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±bx

实虚轴

做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系

[常用结论与微点提醒] c2＝a2＋b2

2b21.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为a. a2＋b2c2.离心率e＝a＝a＝b21＋a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2. 诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(

) x2y2(3)方程m－n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(

) x2y2x2y2xy(4)双曲线m2－n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是m2－n2＝0，即m±n＝0.(

) 解析

(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.

(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.

(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.

答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

考点一

双曲线的定义及其应用

23【例1】

(1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，一个焦点为F(0，－7)，点A(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(

) A.8

B.10

C.4＋37

D.3＋317 (2)(2018·西安调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________. y2x2解析

(1)由已知得双曲线方程为4－3＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.

(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，

得|MC1|－|AC1|＝|MA|，

|MC2|－|BC2|＝|MB|，

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，

其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

y2故点M的轨迹方程为x－8＝1(x≤－1).

y22答案

(1)B

(2)x－＝1(x≤－1) 82规律方法

1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；

2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系. 最后回顾双曲线的性质，并布置作业《步步高》同步习题

板书设计

双曲线

定义

例题1 例题2