3.1.2 导数的概念教学实录与评析

第一章导数及其应用

1.1变化率与导数

一、教学目标：

知识与技能：

通过对实例分析，理解平均变化率的实际意义与数学意义;掌握瞬时速度的算法和导数的概念.

过程与方法：

经历运用数学描述和刻画现实世界的过程;理解平均变化率的意义，初步了解“以直代曲”的数学思想，从而建立瞬时变化率和导数的数学模型.

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：平均变化率的概念、瞬时速度的算法和导数的概念.

难点：对导数概念的理解. 三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

教师活动

学生活动

设计意图

（一）平均变化率

在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：

h

o t 速度的算法，为求瞬时速度做好铺垫. 由学生熟悉的问题出发，引出平均

m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系

h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 环节一

问题1：如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态? 在0t0.5这段时间里，

学生独立计算运动员在这段时间内的平均速度，并进行小组交流.

h(0.5)h(0)v4.05(m/s)

0.50在1t2这段时间里，

vh(2)h(1)8.2(m/s)

211.问题中的变化率可用式子 f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x到x的平均变化12x2x1率. 2.设xx2x1, 学生通过讲解掌握运引导学生由用数学符号表示函数特殊到一般ff(x2)f(x1) (这里x看作是对于x1的一个“增平均变化率的算法。

得出函数的平均变化率。

培养数形结合的思想. 量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) 环观察联想体会平均变yf化率的几何意义. 节则

平均变化率为f(x2)f(x1)

xxx2x1二

21）．已知函数f(x)=xx的图象上的点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则

y

．

x2）求yx2在xx0附近的平均变化率．

平均速度为学生独立思考并小组“0”。引起学交流问题（1）（2）

生的好奇，意平均速度只能粗略地识到平均速65运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下描述运动员的运动状49度只能粗略环节三

问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

态，并不能

反映某一地描述物体刻的运动状态。这就需在某段时间要用瞬时速度来更精内的运动状细

地刻画运

动员的态，我们有必运动状态。我们把物体要研究某个在某一时刻的速度称时刻的速度为瞬时速度. 即瞬时度.

学生利用计算器，分组完成。

一方面分组讨论，展示学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操即当Δt取不同值时,尝试计算vΔt

-0.1 h(2t)h(2)的值？

tv

计算结果，在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值v

。

Δt

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

……。

环节四

-0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ………。

-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引

…

导学生观察、分析、比较、归纳，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？. 作能力。

h(2t)h(2)lim13.1t0t

在前面问题的铺垫下,学导数概念：研究的函数f(x)在xx0处的瞬时变化率生结合具体环节五

由动手计算，动口交问题的实际f(x0x)f(x0)flimlim即yf(x)在xx0处的导数,记x0x0xx流，教师讲解。学生理意义,抽象得作

f(x0)limf(x0x)f(x0)(也可记为yxx)

0x0x解导数的概念. 到导数定义,由特殊到一般，完成了思维的飞跃；

教师引导学生共同分析问题加深对导数的认识及算法。并由学生共同总结出导数的算（三）典例分析

例1．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度法. 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和教师引导学生共同分析问题加深对导数的认识环节（单位：C）为f(x)x7x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它2f'(6)根据导数定义，及算法.让学f(2x)f(x0)fxx六

们的意义．

（第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下

生总结导数的算法.

(2x)27(2x)15(227215)（差、二比、xx3三极限）

降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．）

f(2)limflim(x3)3x0xx0

同理可得:f(6)5

五、小结

1.平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.导数的定义；

3.思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般。

六、作业

1.同步检测