信息技术应用 图形技术与函数性质教案和学案内容

3.3.2

教学目标：

函数的极值与导数

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3.掌握求可导函数的极值的步骤；

教学重点：

极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点：

对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

教学过程：

一、创设情景

观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大ta附近函数h(t)的图像，如图3.3-9．可以看出h(a)=0；在ta的附近，当ta时，函数h(t)单调递增，h(t)0；当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，h(t)0）后减（ta，h(t)0）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0．

对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？

二、新课讲授

探究

下图中函数y=f(x)在a—j点的函数值与这些点附近的函数值有什么函数关系？y=f(x)在这些点得到数值是多少？在这些点附近，该函数的导数符号有什么规律？

yyfxaobx图1.310

以a，b两点为例，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，并且导数等于零，而且在点x=a附近的左侧导数小于零，右侧导数大于零。类似的，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，并且导数等于零，而且在点x=b附近的左侧导数大于零，右侧导数小于零

。

从而我们得出结论：我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。

三、典例分析

1

例1．（课本例4）求fxx34x4的极值 31解：

因为fxx34x4，所以

3f'xx24(x2)(x2)。

f'x0,x2,x2

下面分两种情况讨论：

（1）当f'x>0,即x2，或x2时；

（2）当f'x<0,即2x2时. 当x变化时，

f'x，fx的变化情况如下表：

x

y

y

,2

+ -2 0 28极大值

3(-2,2) －

2 0 极小值2,

+ ↗

↘

4

3↗

28；

3因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)1函数fxx34x4的图像如图所示。

34。

3

-2y1f(x)=x3-4x+432Ox

例2

求y=(x2－1)3+1的极值

解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2

令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

x

y

,1

－

-1 0 (-1,0) －

0 0 (0,1) + 1 0 1,

+

y

↘

无极值

↘

极小值0 ↗

无极值

↗

∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0 yfx = x2-13+1-1O1x

注意问题：

1.（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值

3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个

根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值

如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点

四、巩固练习：

1．求下列函数的极值. (1)y=x2－7x+6

(2)y=x3－27x

(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7 令y′=0，解得x=7. 2当x变化时，y′，y的变化情况如下表. x

y

y

7

,272

7

,2－

↘

0 极小值25

4+ ↗

∴当x=257时，y有极小值，且y极小值=－. 42(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. x

y

y

,3

+ ↗

-3 0 极大值54 (-3,3) －

↘

3 0 极小值-54 3,

+ ↗

∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54. 当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54

五、教学反思

：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的

不可导点可能是极值点

六、课后作业：书本

P34

3

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4

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