习题3.2优秀教案内容

3.2立体几何中的向量方法（一）

制作人：张

欣

3.2.1

用向量方法解决平行问题

一、教学目标

1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题；

2．过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解，体会向量运算的几何意义；

3．情感、态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

二、教学重难点

1、教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题；

2、教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；平面法向量的求解方法。

三、教学课时：1课时

四、教学用具：PPT 五、教学过程

（一）思考：怎样用向量来直线、平面在空间中的位置？

结论：

（二）空间中平行关系的向量表示

线线平行

设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 线面平行

面面平行

例1：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：

（1）直线l1，l2的方向向量分别是a(1,3,1)，b(8,2,2)

（2）两个不同的平面α，β的法向量分别是u(1,3,0)，v(3,9,0)

（3）直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a(1,4,3)，u(2,0,3)

（三）如何求解一个平面的法向量

例2：如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA1＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．

2(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．

(2)求平面SCD的一个法向量．

分析：

以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z1轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，2S(0,0,1)．

→＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．

(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，

→＝(1，0,0)是平面SAB的一个法向量．

∴AD21→→＝(1,1，－1)．

(2)在平面SCD中，DC＝(，1,0)，SC2→，n⊥SC→. 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC所以→＝0，n·SC→＝0n·DC

1x＋y＝0得方程组2x＋y－z＝0.

x＝－2y∴z＝－y，

令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．

结论：求解平面法向量的一般步骤：

（1）建立适当的坐标系．

（2）设平面的法向量为n＝(x，y，z)．

（3）求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．

a·n＝0（4）根据法向量定义建立方程组b·n＝0

. （5）解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.

（四）利用空间向量解决平行问题

例3：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F. 证明

以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直

线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，

1C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．

2设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，

1→→＝(－1,0,1)，

∵C1E1＝(1，－，0)，FC12∴n·C→1E1＝0，→＝0，n·FC1

x＝1y，2即x＝z，

取n＝(1,2,1)．

→＝(1，－1,1)，n·CE→＝1－2＋1＝0，

∵CE→⊥n，且CE→⊄平面CEF.∴CE∥平面CEF. ∴CE1111六、小结

线线平行

设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) 线面平行

面面平行

七、作业：优化设计3.2.1