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空间向量与立体几何

一、知识框架

二、知识梳理

1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．

2．a·b＝0⇔a⊥b是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．

a·b3．公式cos〈a，b〉＝是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两|a|·|b|异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别)，再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．

4．直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．

5．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法

(1)线线平行

证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．

(2)线线垂直

证明两条直线平行，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b⇔a·b＝0. (3)线面平行

用向量证明线面平行的方法主要有：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

1

②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，

③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．

(4)线面垂直

用向量证明线面垂直的方法主要有：

①证明直线方向向量与平面法向量平行；

②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．

(5)面面平行

①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；

②转化为线面平行、线线平行问题．

(6)面面垂直

①证明两个平面的法向量互相垂直；

②转化为线面垂直、线线垂直问题．

6．运用空间向量求空间角

(1)求两异面直线所成角

a·b利用公式cos〈a，b〉＝，

|a|·|b|π0，，

但务必注意两异面直线所成角θ的范围是2故实质上应有：cosθ＝| cos|. (2)求线面角

求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ.即可求出直线与平面所成的角θ其关系是sinθ＝| cosφ|. (3)求二面角

用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．

7．运用空间向量求空间距离

点与点的距离

点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．

一、空间向量的概念与计算

[例1]

给出下列命题：

→→①

若AB＝CD，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；

②若a·b<0，〈a，b〉是钝角；

③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；

2

④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．

其中错误命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 二、空间向量的线性运算

→→→[例2]

已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．

[例3]

已知空间四边形OABC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MNMG→→→→上，且＝2，设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x、y、z的值分别是

GN

(

) 111111A．x＝，y＝，z＝

B．x＝，y＝，z＝

333336111111C．x＝，y＝，z＝

D．x＝，y＝，z＝

363633三、利用空间向量解决平行与垂直问题

[例4] 如下图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2E1B，BF＝2FA1. (1)求证：直线EF∥AC1；

(2)若EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体．

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四、利用空间向量求角度与距离问题

[例5] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小．

[例6] 如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP⊥平面ABCD，，且AP＝AB＝a，M，N分别为BP、AC的中点．

(1)求证MN⊥CD；

(2)求二面角M－BN－C的大小的余弦值．

[例7] 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．

(1)求直线AO1与B1E所成角的大小的余弦值；

(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．

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