3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录与评析｜教案在线预览

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3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）元氏一中曹青育教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用．教学过程：一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝(a1,a

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所属课文：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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学校：元氏县第一中学

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录与评析

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关键词：3.1.4 空间向量的正…教学实录与评析

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3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）

元氏一中

曹青育

教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．

教学重点：夹角公式、距离公式．

教学难点：夹角公式、距离公式的应用．

教学过程：

一、复习引入

1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；

⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3

上述运算法则怎样证明呢？（将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可）

2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）

二、新课讲授

⒈

向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，求这两个向量的模. 222a3b32．这两个式子我们称为向量的长度公式．｜a｜＝a12a2，｜b｜＝b12b2

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

2. 夹角公式推导：∵

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞



∴

a1b1a2b2222a3b32·cos＜a,b＞

aba12a2＝·b12b2由此可以得出：cos＜a,b＞＝a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

dA、B(x2x1)2(y1y2)2(z1z2)2，其中dA、B表示A与B两点间的距离．

3. 练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点

距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件．

（答案：(2,3,3)；29；24x6y8z70）

说明：⑴中点坐标公式：OM(OAOB)＝(12x1x2y1y2z1z2

,,)；222⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．

4. 出示例5：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F1与DF1所成的角的余弦值．

分析：如何建系？

→

点的坐标？

→

如何用向量运算求夹角？

→

变式：课本P104、例6 5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

三.巩固练习作业：课本P105练习 3题.

A1B1，求BE14

关于本教案的常见问题

Q：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录与评析是什么类型的资料？

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