习题2.3优质课教案

直线与双曲线的位置关系（二）教学设计

李刚

课程分析：

新教学大纲对“直线与圆锥曲线的位置关系”这部分教材的要求是：掌握其简单应用。主要考查：直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，对称性问题，存在性问题,与向量综合等问题，由于本部分内容一直是高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，所以应给以足够的重视。这节课是直线与双曲线位置关系第二节课，只研究弦长问题，中点弦问题。体现分类讨论的数学思想，又体现数形结合的数学思想，是一节很重要但又有一定深度的课。

学情分析：

直线与双曲线的位置关系是在已经对直线与椭圆的位置关系有了初步的认识和了解的基础上而进行的，但不少学生考虑问题往往不够全面，例如没有检验的意识。因此在创设问题情境以后，应让学生充分思考、讨论，而不少学生受传统教学的影响，习惯于听老师的分析，自己不主动探索，学习比较被动，往往老师分析的头头是道，学生也频频点头，但时间一长，就都忘了。应充分调动学生的积极性，让学生在老师的引导下，自主、探究、合作得出结论，实现学生的主体地位，让学生真正成为学习的主人。

设计理念：

根据诱思探究学科教学论，改变“老师滔滔讲，学生默默听”的传统教学模式，变教师的“满堂教”为学生的“满堂学”。让“教堂”变为“学堂”。在本节课教学中设计导好，讲清，练透三个环节，充分安排回忆、尝试、讨论、发言、让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去，体验知识的形成过程。本着这个原则，结合具体的教学内容，本节教学采用引导探究式的教学方法。理论探究采用老师创设问题情境，学生自主探究、分组讨论的方法；反馈练习采用学生独立思考，教师讲评的方法。

教学流程：

(一) 解读学习目标：

1.掌握直线与双曲线弦长有关问题; 2.学会中点弦问题. （二）复习引入，创设问题情境

前面我们学习了直线与椭圆的位置关系，那么请同学们回答：

直线与椭圆的位置关系有几种？想一想如何通过图像来表示?它的理论依据是什么?

（由于刚学过大家很齐声的回答三种：相离、相交、相切。

从代数角度分析，再请一同学回答应为：联立方程组，得到一元二次方程通过判别式（或解的个数）来说明。当判别式大于零（或两个不等的根），相交；当判别式等于零（或两个等根），相切；当判别式小于零（或无根），相离。回答的比较完整。

设计意图：通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知，并为学习直线与双曲线的位置关系这节课作下铺垫。）

(三)问题一:如何解决弦长问题

导好：直线与椭圆的相交时，弦长AB

AB(1k2)(x1x2)24x1x2类比椭圆，直线与双曲线相交时，弦长AB（引导学生弦长公式是由两点间距离公式导出，故一样）

AB(1k2)(x1x2)24x1x2问题二:如何解决中点弦问题

导好：在学习椭圆时，已知弦中点（1，2）求直线方程问题的思路是什么？

法1，逐差法 法2，

x1x24

y1y24

通过两个问题导引，帮助学生回忆类比椭圆，铺路架桥，降低本节课的难度

(四) 讲清：双曲线中的弦长问题：例1 经过双曲线x2y21的左焦点F1作倾斜角为3的弦AB。求ABx2y2(五) 练透：过双曲线 3B两点，求|AB|. 讲清：双曲线的中点弦问题

以P（1，8）为中点作双曲线为y-4x=4的一条弦AB，求直线AB的方程。

解法一：直接法

（1）

当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是P点。

（2）

当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k。则直线AB的方程为y-8=k（x-1） 联立方程，韦达定理，求出K,体现方程思想

解法二：逐差法，强调检验过程。

(五) 练透:

已知双曲线为y2-4x2=4，是否存在一点P（1，）平分弦AB，若存在，求直线AB的方程，若不存在，请说明理由。

通过两个讲清，理清这两类问题的思路，规范解题步骤。

通过两个练透，学生学会举一反三，达到触类旁通，并且通过动手体验，提高运算能力。

(六) 合作小结（多媒体演示）

知识方面：1. 直线与曲线相交所得弦的有关问题（弦长）。

2. 中点弦问题的两种方法

思想方面：

2261的右焦点作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A、

学生1：方程思想。

学生2：分类讨论思想，数形结合思想。

（七）课后反思：

本节课在执教的过程中，做到导好，讲清，练透环节，实效性较强。学生的参与性较强，能够充分发挥学生的主体性；学生掌握知识的过程也是学生探索学习、思考研究、提高能力的过程；打破了传统的“讲授”，变为引导、启发、发现、总结、深化、提高、迁移。变学为思、变学为悟，并锻炼了学生的合作能力，加强合作意识。整节课学生的活动贯穿始终，迁移规律运用在理论探究中起了关键的作用，充分提高了学习的效率，保证知识落实到位。学生的主体地位得到了充分的体现，师为辅，生为主，以体验为红线。

存在的问题：学生的计算能力是个大问题，还需多加训练，提高运算的质量。