3.1.3 导数的几何意义优秀教案设计

3.1. 3 导数的几何意义教学设计

教学目标：

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 教学难点：理解导数的几何意义. 课前准备：多媒体课件

一. 复习回顾

1. 导数的定义:函数

y = f (x) 在

x = x0 处的瞬时变化率,称为函数

y = f (x) 在

x = x0 处的导数, 记作

fx0或yxx0,即fx0limx0fx0xfx0fxfx0. limxx0xxx0y2y1

x2x12. 直线斜率的计算公式：ktan二

. 创设情境

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

三 . 新课讲授

1.曲线的切线及切线的斜率

如图,当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn(xn,f(xn))(n1n的变化趋势是什么？

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P即x0时,割线PP我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点n趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

PT的斜率k有什么关系？

问题: (1).割线PPn的斜率kn与切线 (2).切线PT的斜率k为多少？

容易知道,割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)P时, ,当点Pn沿着曲线无限接近点xnx0x0kn无限趋近于切线PT的斜率k,即klim说明: (1).设切线的倾斜角为,

f(x0x)f(x0)f(x0)

x那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①.提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②.切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. (2).曲线在某点处的切线: 1).与该点的位置有关; 2).要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存

在,则在此点处无切线; 3).曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①.求出P点的坐标; ②.求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k得到曲线在点

x(x0,f(x0))的切线的斜率; ③.利用点斜式求切线方程.

四. 例题精析

2例1. 已知

fxx, 求曲线yfx在x2

处的切线的斜率. (2x)2222xx2lim2

解:f2limx0x0xx例2. 求曲线yf(x)x1在点P(1,2)处的切线方程. 第2页

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2

[(1x)21](121)2xx2lim2

解: y|x1limx0x0xx所以,所求切线的斜率为2

因此,所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

例3. 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10, 根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况. 解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

.当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴, 所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2).当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0, 所以,在tt1附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减. (3).当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0, 所以,在tt2附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢. 五 . 课堂练习

1.已知曲线f(x)2x2上一点P2,8,则点P处的切线的斜率为多少?点P处的切线方程为多少?

2.已知曲线y2x24x在点P处的切线的斜率为16,则点P的坐标为多少?

3.已知曲线fxx的切线的斜率等于1,则这样的切线有( ). 3

A. 1条

B. 2条

C. 多于2条

D. 不能确定

六

. 课堂小结

1.导数的几何意义:函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率.

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2.曲线的切线的斜率及切线. (1).k切f(x0)lim

(2). 切线方程: yfx0fx0xx0

七

. 书面作业:

P87第5题

x0f(x0x)f(x0)

x

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