二、圆锥曲线的离心率与统一方程特级教师教学实录

离心率问题学习案

一、学习目标

1、掌握常见的求离心率的方法；

2、能熟练解决“套路化”的求离心率问题；

3、能从不同角度研究较为复杂的离心率问题；

二、课前小测：

x2y21.（2017全国3卷T10）.已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，ab且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（ ）

A.1632 B. C. D.

3333x2y22.设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段abPF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆的离心率为（ ）

A．1133 B． C． D． 3636

解：思路1：本题存在焦点三角形PF1F2，由线段PF1的中点在y轴上，O为F1F2中点可得PF2F1F2，2∥y轴，从而PF又因为PF1F230，则直角三角形PF1F2中，PF1:PF2:F1F22:1:3，且2aPF1PF2,2cF1F2eF1F2c2c3

a2aPF1PF23，所以答案：A

b2b23思路2：PF2，tanaa2c3

x2y23.（2017全国1卷15）已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆

ab心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则

C的离心率为________。

【解析】：如图所示，过点A作渐近线的垂线AB，由MAN60BAN30，又1

332，故而

AMbABb,OAaOBa2b23b22b1b23b2，解得2e。

1tanBOA22a3a3a32ab2

2abab3，所以b

cc2ab拓展：双曲线中顶点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为b。

c思路2：顶点(a,0)到渐近线的距离为

x2y24.（2016全国3卷T11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)的左焦ab点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

（A）1123（B） （C） （D）

3

234【答案】A 法1：

法2：用两个相似三角形的比例构建两个等式.设MF1m，OEm，由相似三角形的nmac1ac1a性质有①，2②，两式相乘得，所以e. na2ac3mac

x2y25如图所示，已知双曲线221ab0的右焦点为abF，过F的直线l交双曲线的渐近线于A,B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF2FB，则该双曲线的离心率为（ ）

2

A. 3223305 B. C. D.

4352

思路1：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,b,c

表示，再寻找一个等量关系解出a,b,c

的关系。双曲线的渐近线方程为bx，由直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜a2b2ab角的2倍可得：kOAa22，确定直bab212a2abxc，与渐近线联立线l的方程为y22aby方程得

2abyxc2abc2abca2b2y2ory222b3ababya将AF2FB转化为坐标语言，则yA2yB

，即2abc2abc2，解得a2b23a2b2a:b:c答案：B

e3:1:，从而223

3思路2：双曲线的离心率e1()1tanba22，所以可通过渐近线的倾斜角的角度来求离心率，注意到AOB中含有较多的角与边长的关系，可考虑利用三角关系来得到的三角函数值。

注意到直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，所以AOF是等腰三角形，所以OFAF，因为AF2FB，所以OF2FB，又因为双曲线的两条渐近线关于，易得x轴对称，所以AOFBOF，所以在BOF中有OFB2BOFOFB30，所以2b33. ，所以etan303a3

三、自我反思

问题1：求离心率有哪些常见方法? 1、利用标准方程：整理出椭圆或双曲线的标准方程后可直接求出a,c，再利用e2、在焦点三角形中利用椭圆第一定义得ec。

ac2c2c求解。（双曲线类似）

a2aPF1PF22223、根据题目条件，构建有关a,b,c的关系式，再结合椭圆中abc消掉b（双曲线类似），得到a,c关系式（特别是齐次式），进而得到离心率e。

3

问题2：求离心率一般涉及到哪些数学思想方法？

一般思路：几何入手，代数求解

1、数形结合的思想 2、一般与特殊的思想 3、极限的思想

问题3：离心率问题中有哪些常见的解题“套路”？

1、出现两焦点考虑用定义，出现两顶点（或者关于原点对称的两点）想性质（例如斜率之积为定值）; 2、出现一个中点条件记得想到还有个隐藏的中点（原点），中位线即将出现。

3、如果在某个条件下产生的点在曲线上，就要利用该点位置的两重性。

4、如果双曲线中出现了两条渐近线，可以考虑求出两条渐近线的夹角。另外，焦点到渐近线的距离为b，双曲线中顶点到渐近线的距离为ab。

c5、求离心率范围先考虑极限情况，排除选项，增加命中率。另外别忘了圆锥曲线中各个量本身的取值范围；

四、典例分析

x2y2例1：已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，过点F2的直线与椭

ab圆交于A,B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）

A、

2 B、23 C、52 D、63

2 x2y2例2：（2018石家庄市一测T10）双曲线221

(a0,b0)

的左、右焦点分别为abF1,F2，过F1作倾斜角为600的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A,B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（ ）

A．

3 B．

23 C． 2 D．

21

思路1：常规解法，先利用A点表示出B点坐标，再利用B点在双曲线上从而得到a,b,c的关系式。

4

思路2：利用隐含的中点O搭配形成三角形的中位线，从而有BF2F1F2b2tana2c。

3

例3：已知A、B为双曲线E的左，右焦点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 .

变式1：（2015全国2卷理科第11题）已知A、B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）

A、5 B、2 C、3 D、2

x2y2变式2：

已知双曲线221(a,b0)，过x轴ab上点P的直线l与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN。若MPO60，MNQ30，则该双曲线的离心率为

A .2 B .3 C. 2 D.4

思路：注意到M、Q两点关于原点对称，且点N在双曲线上，由性质4有kNQkNMMPO60，kNMtkNQMPOab22，由a得由n，(MNQ301得83tan(OPNPNQ)tan(12030)，故有kNQk3b2NM21，所以离心率ab2e122。

a

x2y2例4：设F为双曲线C: 221a0,b0

的右焦点,过点F且斜率为-1的直ab线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点,若AB3AF ,则双曲线C的离心率等于

(

)

10534A. B. C.5 D.

323

5

x2y21a0,b0的左焦点，E是该双曲线的右顶点，例5：已知F是双曲线2－2＝ab过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 （ ）

A. 1, B. 1,2 C.1,1

思路：从图中可观察到若ABE为锐角三角形，只需要AEB为锐角。由对称性可得只需AEF0,2 D. 2,12

b2AFa即可。且AF,FE均可用a,b,c表示，AF是通径的一半，得：4AFb2，，所以FEactanAEF1FEaacc2a2ca11e2，即e1,2

aaca答案：B

22变式1：（2017重庆一模）已知圆(x1)y3的一条切线ykx与双曲线4x2y2C:221(a,b0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）

abA. (1,3) B. (1,2) C. (3,) D. (2,)

x2y2 变式2：已知椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1c,0,F2c,0，ab6

若椭圆上存在点P使ac，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）

sinPF1F2sinPF2F122 A. 0,21 B.  D. 21,1

2,1 C. 0,2

思路：PF1F2,PF2F1为焦点三角形PF1F2的内角，且对边为焦半径PF2,PF1，所以利用正弦定理对等式变形：acsinPF1F2sinPF2F1PF1c2a2sinPF2F1c，再利用焦，再由PF2PF12a解得：PF2acsinPF1F2aPF2a半径的范围为ac,ac可得（由于依题意，P非左右顶点，所以焦半径取不到边界值22222ac22a2acaac,ac）ac22：ac22ac2e102aa2acce，解得e21,1

答案：D

x2y2

变式3：设点A1,A2分别为椭圆221ab0的左右顶点，若在椭圆上存在异abO为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围于点A1,A2的点P，使得POPA2，其中是（ ）

A. 0, B. 0,12221,1 C. D. ,1222

思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P”，则P的横纵坐标分别位于a,a,b,b中，所以致力于计算P的坐标，设Px0,y0，题目中A2a,0，由aa22，所以联立方程：POPA2可得P也在以OA2为直径的圆上。即xy242aa22xyb22c2224212xaxb0，即2xaxb20，由已知可得2aay2x1a2b2a2b2ab2A2a,0也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：ax02x02，再ccab21222222根据x0的范围可得：a2abcacce，解得c22e,1 2答案：D 27

思路2：极限思想+代入法

四、练习题：

x2y210b23与渐近线为x2y0的双曲线有相同的焦点F1,F2,P1.椭圆12b2为它们的一个公共点,且F1PF290,则椭圆的离心率为________。

x2y22. 已知直线y11x与椭圆C:221(ab0)相交于A,B两点。若椭圆上存在点abP，使得ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e______.

3.已知直线y3x2y2x3与双曲线C:221(a,b0)的左右两支分别交于A,B两点。若ab双曲线上存在点P，使得ABP是等腰直角三角形，则双曲线的离心率e______.

x2y24.已知双曲线221a0,b0的左、右焦点分别为F1c,0,F2c,0,若双曲线abac上存在一点P使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .

sinPF1F2sinPF2F1x2y25.如图，已知双曲线221(a0,b0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点abF为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF，且[,]，则该双曲线 126离心率e的取值范围为（ ）

A．[3,23] B．[2,31] C．[2,23] D．[3,31]

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