2.2.2 椭圆的几何性质板书设计

微专题24

椭圆中与三角形面积有关的取值范围问题

教学目标：通过探究椭圆中三角形的面积问题，掌握求面积的几种解题思路，帮助学生强化数形结合的能力，拓展解决问题的思路，提高解题能力。

重点、难点：如何建立椭圆中的三角形面积的函数模型；

将问题转化为常见的函数模型，求函数取值范围

复习旧知：

1x2y21、

椭圆2+2=1(a>b>0)中，特征三角形的面积为(bc) 2abx2y22、

椭圆2+2=1(a>b>0)中，焦点分别是F1,F2，P是椭圆上任意一点，则SDF1PF2面积的最大值为(bc) abx2y23、

椭圆C：2+2=1(a>b>0)，O为原点，设椭圆上两个点A(x1,y1),B(x2,y2),求证：

ab1SDAOB=x1y2-x2y1

2uuruuur2骣uuruuuruuruuur111OA×OB÷÷çSDAOB=OA?OBsinOA,OBOA鬃OB1-cos2OA,OB=OA2?OB2OA2?OB2ç÷ç÷÷

ç222OA×OB桫uuruuur21112222=OA?OBOA?OBx12+y12)?(x22y2-(x1x2+y1y2)=x1y2-x2y1()222()（介绍坐标法：秒杀部分填空题）

课堂例题：

x2y21，点P(0,2)，过P作直线l交椭圆E于A,B两点，则SVOAB（O为原点）的最大例题：已知椭圆E:2值为_________.

常规方法：求弦长，求距离，求面积，求最值四步走

捷径：找特殊点

SDAOB=SDAOP-SDBOP=设lAB:y=kx-21OP?xA2xBìïy=kx-222联立ï?(2k1)x-8kx+6=0í22ïïîx+2y-2=0ì3ï222ïV=64k-24(2k+1)=16(k-）>0ïï2ïïï8k?ïíx1+x22ï2k+1ïïï6ïxx=ï12ï2k2+1ïî4k2-SDAOB=

322=222k-32k2+12k2+122t22=t2+4t+4t22

令2k2-3=t(t>0)，S=4?4(当且仅当ttt+

2取=）,Smax=

思考1：上述题中，点P(0,)，其他条件不变，求SVOAB的最大值？

思路：SDAOB=SDAOP+SDBOP=121OP?xA2xB

小结：过定点的直线与椭圆相交围成的三角形面积的求法选择用分割还是补形的方法看什么？

设直线的方法用斜截式还是横截式方程看什么？

0)，其他条件不变，求SVOAB的最大值？

思考2：上述题中，点P(，1OP?yAyB

21

设直线方程的横截式：x=my+

2思路：SDAOB=SDAOP+SDBOP=小结：动中找定为解决问题的突破口

方法小结：1、直线过定点与椭圆构成的中心三角形：直线方程的设法主要为两类（斜截式、横截式）

2、直线过定点与椭圆构成的中心三角形的面积的求法：分割法、补形法

3、求三角形面积的方法有很多，关键是从条件入手，找最优解法，从特殊到一般

12x2y2探究：椭圆C：2+2=1(a>b>0)，O为原点，直线y=kx+m与椭圆交于A，B点，试证明△AOB面积的ab1最大值为ab

2方法一：常规方法：

设lAB:y=kx+mì求弦长、点到直线距离、面积、最值

ïy=kx+m联立ïí222222ïïîbx+ay-ab=01m?xAxB

方法二：SDAOB=211x1y2-x2y1=acosa?bsinbasina?bcosb方法三：SDAOB=22

11absin(a-b)?ab

22x2+y2=1，若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．变式：如图，已知椭圆C：

211鬃OAOB，难点在求A,B的坐标

分析：SDAOB=AB?d2212若直线OA,OB所在直线与坐标轴重合，S=?2；

221(k?0)

若直线OA,OB的斜率都存在，设为k,-k设lOA:y=kxìïy=kx2联立ï?(2kí22ïïîx+2y-2=01)x2-2=0?xA22,22k+12

骣1÷ç2-÷+2ç2÷ç2k+22k2+2桫k22222OA=xA+kxA=，同理可得OB==2222k+1k+2骣1÷2ç-+1÷çç桫k÷

SDAOB1=OA?OB212k2+22k2+2?22k2+1k2+2tk2+1(2k2+1)(k2+2)1骣11÷9-ç-÷+

ç÷ç桫t242令k2+1=t(t>1),S=(2t-1)(t+1)2=1=112+-2tt22骣111÷9纟92珑Q0<<1\-珑-÷+蝄2,ú?S珑桫tt2÷4?4ú3û2综上＃S3

22x22串讲：如图，椭圆C：+y=1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x＝22上一动点(不在x轴上)，2S1直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1,S2分别为VA的面积，求的最大值．

SA,VMSN12S21SA1´SA2sinSS1SA´SA222+222-2=2=1=?1S222-x122-x2SM´SNsinSSM´SN26

=(x1-22)(x2-22)kSA1=t32,lSA1:y=t32(x+2)ìtïïy=(x+2)ï联立í?(t29)x2+22t2x+2t2-18=032ï22ïïïîx+2y-2=0ìïïïV=8?810

ïïïï-22t2-2t2+92ï?íxA1xM=2?xM2ït+9t+9ïïï2t2-18ïïxA1?xMï?t29îttkSA2=,lSA2:y=(x-2)

22ìtïïy=(x-2)ï联立í?(t21)x2-22t2x+2t2-2=02ï22ïx+2y-2=0ïïîìïïïV=8>0ïïïï22t2ï?íxA2xN=2?xNït+1ïïï2t2-2ïïxA2?xNï?t21î

2t2-2t2+9

S16=S2-32t2-92-×t2+96(t2+9)(t2+1)(t2+9)(t2+1)==*222226(t+3)(t+3)(t+3)2t-32

t2+1(m+6)(m-2)-12411244令t2+3=m(m>3)，*==++1=-12(-)+?m2m2mm633

课后延伸：

x2y21、椭圆C：2+2=1(a>b>0)，O为原点，直线y=kx+m与椭圆交于A，B点，若kOA?kOBabababb2明△AOB面积为；反之若△AOB面积为，且直线OA,OB斜率存在，则kOA?kOB-2

22a

b2-2，证ax2+y2=1的上顶点，A，B点是椭圆上异于P的动点，若直线PA,PB的斜率存在，kPA?kPB2、P是椭圆31b21则若t=2=，证明直线AB平行于y轴；若t¹，证明直线AB恒过定点

3a3

课堂小结：

1、

巧设直线方程，简化运算；

2、

构造关于k的函数求最值；

3、

构造关于b的函数求最值；

4、

利用基本不等式求最值。

巩固练习：

t，x2y2+=1上位于x轴上方的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若直线PF1的斜率为3，1、点P是椭圆259则△PF1F2的面积为________．

y2=1，F为其上焦点，A为椭圆C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形2．已知椭圆C：x+22OAPF的面积最大值为________．

x2y2+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N3．已知椭圆E：43在E上，AM⊥AN，且AM＝AN，则△AMN的面积为________．

x2y24．已知A，B分别为椭圆2+2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆交于C，D两点，ab若四边形ACBD的面积最大值为3b2，则椭圆的离心率为________．

x2y2+=1上一点P作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN为x轴、y轴分别交

5．过椭圆164于点A，B，则△OAB面积的最小值为________．

6．椭圆两焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，P为椭圆上动点，直线PF2与椭圆的交点为Q，若△PF1Q面积的最大

值为15，则该椭圆的标准方程为________．

x2y27.如图，点A(1，3)为椭圆＋＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．

2n(1)求椭圆方程；

(2)若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形．

①求直线BC的斜率；

②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．