2.2.1 椭圆的标准方程教学目标设计

课题：《椭圆的标准方程》教学设计

科目：数学

教学对象：高二（6）班

课时：1课时

提供者：宋琼

单位：江西省南昌市进贤县李渡中学

一、教学内容分析

《椭圆及其标准方程》是高中数学选修1-1（北师大版）2.1.1中的内容，

本节是第一课时.本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。

二、教学目标

知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。

能力目标：通过阅读提纲，指导学生完成对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的自学能力和分析、探究、概括等逻辑思维能力。

情感、态度与价值观目标：在教学中体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，体验成功的快乐。

三、学习者特征分析

1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，

2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。

4．该班学生是高二文科生，数学基础整体较差。

5．经过近一学期的引导、鼓励，学生学习数学的积极性较高。

四、

1

教学策略选择与设计

1、教法设计：采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体,思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。

2、学法设计：自主探究，合作交流

要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

3、教学手段：多媒体辅助教学. 通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量. 五、教学重点及难点

本课的教学重点是掌握椭圆的定义及标准方程。

教学难点是意识是椭圆标准方程的推导与化简。

六、教学过程

教师活动

学生活动

设计意图

（材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. 材料2：“嫦娥一号”模拟轨道图．

2007年10月24日，我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功

, 开始了举世瞩目的太空之旅，流传了几千年的飞天神话，变成了现实

，这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．请问：

“嫦娥一号”

绕地球飞行的运行轨道是什么？（课件演示轨道图）

学生回答：

“嫦娥一号”

绕地球飞行的运行轨道是椭圆

利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过“嫦娥一号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆．

思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，

2

到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？

讨论问题。

对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆．

(1)取一条细绳；

(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点

、

；

(3)用铅笔尖（

）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？教师巡视指导，展示学生成果

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？

学生总结规律：

轨迹为椭圆；

轨迹为线段

；

轨迹不存在．

在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备。

定义：平面内，到两个定点

、

的距离之和等于常数（大于

）的点的轨迹叫做椭圆．

（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.）问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？ . 分组讨论思考。学生回答问题。

通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力. 1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简；

（5）证明（可省略）（由学生回答，不正确的教师给予纠正．）

2.如何选取坐标系？

【学情预设】学生可

3

能会建系如下几种情况：

方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；

方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；

方案三：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x轴的左交点为原点；

方案四：把F1、F2建在y轴上，以F1F2的中点为原点；

教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？学生讨论，经过比较确定方案一. 分组讨论思考，交流思想。

积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．

选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过

、

的直线为

轴，线段

的垂直平分或线为

轴，建立平面直角坐标系．设

，点

为椭圆上任意一点，则

（称此式为几何条件），∴

得

（实现集合条件代数化），（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得

．（2）

的引入．由椭圆的定义可知，

, ∴

．让点

运动到

轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得

，

的几何意义，进而自然引进

，此时设

，于是得

，

两边同时除以

，得到方程：

（称为椭圆的标准方程）．（3）建立焦点在

轴上的椭圆的标准方程．

要建立焦点在

轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母

，

交换了位置），直接得到方程．

方法2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图1（前面方程推导时用过）与图3的联系(关于直线

对称)即可化未知为已知，将已知的焦点在

轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在

轴

4

上的椭圆的标准方程．只需将图1沿直线

翻折即可转化成图3；

图1 图3 (4)教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不够简洁. 椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．

（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；

（2）椭圆标准方程中三个参数

, , 的关系：

；

（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定. 例1 下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明

、

，写出焦点坐标．

注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．

例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是

、

，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 变式一：将上题焦点改为

、

，结果如何？

变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？（学生直接抢答）

例3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

两个焦点的坐标分别是

、

，并且经过点P ．

进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握

七、教学评价设计

评价内容

学生姓名

评价日期

评价项目

学生自评

生生互评

教师评价

优

良

中

差

优

良

中

差

优

良

中

差

课堂表现

回答问题

作业态度

知识掌握

综合评价

寄语

八、板书设计

§8.1椭圆及其标准方程

一．椭圆的定义

三.例题

四.小结

二．椭圆的标准方程

五.作业

焦点在

轴上：

焦点在

轴上；

九．教学反思

本节课

5

围绕“层层设问------自主探索------发现规律------归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过观看图片，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，利用“神舟7号”围绕地球运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索

，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心，基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念.

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