2.4.1 抛物线的标准方程优质课一等奖教案

适用学科

适用区域

知识点

教学目标

高中数学

苏教版区域

适用年级

课时时长（分钟）

高二

2课时

抛物线的标准方程和几何性质

1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程和几何性质．(重点)

教学重点

1．抛物线标准方程与定义的应用．(难点) 2．会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)

教学难点

1．抛物线标准方程、准线、焦点的应用．(易错点) 2．直线与抛物线的公共点问题．(易错点)

【教学建议】

本节课是在学习了椭圆和双曲线之后，学生在学习方法上已经有了一定的经验，所以教师可以让学生尝试自主学习，探究抛物线的定义和方程的推导过程。自己来总结几何性质。

【知识导图】

教学过程

一、导入

1.教材整理

抛物线的标准方程

2.教材整理1 抛物线的几何性质

阅读教材P52表格的部分，完成下列问题. 3.

抛物线标准方程的推导

4.

P的几何意义

二、知识讲解

1

抛物线的标准方程和

考点类型

图象

焦点

准线

pF,0

2y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0)

x2＝－2py(p>0)

pF,0

2pF0,

2

pF0,

2px＝－

2x≥0，

y∈R

px＝

2x≤0，

y∈R

y轴

O(0,0) e＝1 py＝－

2x∈R，

y≥0

py＝

2x∈R，

y≤0

性

质

范围

对称轴

顶点

离心率

开口方向

x轴

向右

向左

向上

向下

考点2

抛物线的焦点弦

阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题．

抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦的弦长最短，A0B02p称ABx1x2p，为抛物线的通径．

三

、例题精析

类型一

求抛物线的焦点及准线

(1)抛物线2y3x0的焦点坐标是_______________准线方程是________．

(2)若抛物线的方程为yax2a0，则抛物线的焦点坐标为_______，准线方程为______．

3【解析】(1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝x，

2333p33，0，准线方程是x＝－. ∴2p＝，p＝，＝，焦点坐标是8242881(2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝y，

a111p110，，准线方程是y＝－. 当a>0时，则2p＝，解得p＝，＝，∴焦点坐标是4aa2a24a4a1p1当a<0时，则2p＝－，＝－. a24a110，，准线方程是y＝－，

∴焦点坐标是4a4a110，，准线方程是y＝－. 综上，焦点坐标是4a4a3131，0

x＝－；(2)0，

y＝－

【答案】

(1)84a84a

求抛物线的焦点及准线步骤

1．把解析式化为抛物线标准方程形式．

2

例题1

2．明确抛物线开口方向．

3．求出抛物线标准方程中p的值．

4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．

类型二

：求抛物线的标准方程

例题2

根据下列条件确定抛物线的标准方程．

(1)关于y轴对称且过点(－1,－3)；

(2)过点(4,－8)；

(3)焦点在x－2y－4＝0上．

【精彩点拨】

(1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．

【解析】

(1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入11方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y. 63法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物11线过点－1，－3，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x2＝－y. 33(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8) 的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y. 法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为

x2＝－2y. 综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y. ()

x＝0，x＝0，y＝0，y＝0，(3)由得由得

x－2y－4＝0，y＝－2，x－2y－4＝0，x＝4.p所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，2p所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方2程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.

【总结与反思】

求抛物线的标准方程

求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程．

(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．

(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．

①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：

y22pxp0,y22pxp0,x22pyp0,x22pxp0进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程．

②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：

当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为yaxa0；

2当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为xaya0，再根据条件求a. 2

类型三

抛物线的标准方程及定义的应用

例题3

(1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．

(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．

【解析】

(1)∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝5.

(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6. ∵6>2，∴A在抛物线内部．

1设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当277AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代22入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．

【总结与反思】

(1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PB＋PF≥BF求解．(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解．

类型四：抛物线的几何性质

例题4

x2y2(1)已知双曲线C1：221a0,b0的离心率为2.若抛物线C2:x22pyp0ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．

(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．

x2y2【自主解答】

(1)∵双曲线C1:221a0,b0的离心率为2，

abca2b22b3a，

aap∴双曲线的渐近线方程为3xy0，∴抛物线C2：x22pyp0的焦点0,到双2曲线的渐近线的距离为p3×0±222＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x16y. 2(2)不妨设抛物线的方程为y2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF111121＝p，∴SOABABOF2ppp4p22

22222

所以抛物线的方程为y242x

【答案】

(1) x16y；

(2) y242x

2

类型五

抛物线的最值问题

例题

求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.

【精彩点拨】

本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线|4t－3t2－8|的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直5线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．

【解析】

法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，

它到直线4x＋3y－8＝0的距离

|4t－3t2－8||3t2－4t＋8|d＝＝

551422＝3t38

5312022＝3t3

53324＝t

533224∴当t＝时，d有最小值. 33法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，

例题1

2y＝－x，4由消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－. 34x＋3y＋m＝0，

∴最小距离为－8＋4203345＝＝. 53

类型六

抛物线的焦点弦

5已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB＝p，求AB所2在的直线方程．

【精彩点拨】

求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦5点F，AB＝x1＋x2＋p＝p求解．

2p【解析】

由题意可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－. 2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB. pp由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋，BF＝dB＝x2＋，

2253于是AB＝x1＋x2＋p＝p，∴x1＋x2＝p. 22p5当x1＝x2＝时，AB＝2p

22故直线AB与x轴不垂直．

p设直线AB的方程为ykx

2pykx1222222kxpk2xkp0

由，y22px4

例题6

x1x2pk22k2pk22k23pk2

2pp故直线AB的方程为y2或x2xpy2x2xp

22类型七

直线和抛物线的位置关系

例题7

求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．

【教学点拨】

当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．

【解析】

若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0. x＝0，x＝0，由2得

y＝2x，y＝0，∴直线x＝0与抛物线只有一个公共点；

若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y＝kx＋1.

y＝kx＋1，由消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. y2＝2x，1x＝2，当k＝0时，有即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；

y＝1，1当k≠0时，有Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝，

21即方程为y＝x＋1的直线与抛物线只有一个公共点．

21综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1. 2

四

、课堂运用

基础

1.设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是________．

2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________.

3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________.

4.直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A，则实数b的值为________

答案与解析

1.【答案】

y2＝8x 【解析】由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x. 12. 【答案】a＝－. 8111【解析】抛物线的标准方程为x2＝y.则a＜0且2＝－，得a＝－. a4a83. 【答案】10 【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.

4. 【答案】-1 y＝x＋b，【解析】

由2得x2－4x－4b＝0，

x＝4y，因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.

巩固

1.若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，求△PAB的面积的最小值．

2.已知抛物线的方程为y2＝－8x. (1)求它的焦点坐标和准线方程；

(2)若该抛物线上一点到y轴的距离为5，求它到抛物线的焦点的距离；

(3)该抛物线上的点M到焦点的距离为4，求点M的坐标．

3.已知抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是_______ 4.抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB＝43，则焦点到弦AB的距离为________．

答案与解析

1.【答案】22.

【解析】

由题意，得p＝2，直线AB过抛物线的焦点(1,0)，所以直线AB的方程为y＝xy＝x－1，－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2可得x2－6x＋1＝0，

y＝4x，所以x1＋x2＝6，x1x2＝1，则AB2

x1x22y1y21k22x1x224x1x2=8 y0－，y0，设P4则点P到直线AB的距离为d＝2y0＋y0＋14221，∴△PAB的面积S＝AB·d2|y2y020＋4y0＋4|＝＝≥22，即△PAB的面积的最小值是22.

22

2. 【答案】

【解析】(1)焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2. (2)设M(x0，y0)是抛物线y2＝－8x上一点，F是它的焦点，由抛物线定义知，|MF|＝x0p＋＝5＋2＝7.∴它到抛物线焦点的距离为7. 2(3)∵M到焦点的距离为4，∴M到准线的距离为4，即M到y轴的距离为2，M的横坐标为－2.∴M的坐标为(－2，±4)．

3. 【答案】±1515.

8，1622【解析】

设M(x0，y0)，把抛物线y＝4x化为标准方程，得x＝y. 141151－则其准线方程为y＝－16，由抛物线的定义，可知y0－16＝1，得y0＝16，代151515211515入抛物线的方程，得x0＝4×16＝64，解得x0＝±8，则M的坐标为±，. 1684. 【答案】2 【解析】由题意我们不妨设A(x,23)，则(23)＝4x，∴x＝3，∴直线AB的2方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB的距离为2. 、

1.在抛物线y2＝16x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________.

2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．

3.如图2-4-1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．

拔高

图2-4-1 (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；

(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米) 4.已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB

的长分别为1和8，求抛物线的方程．

答案与解析

1.【答案】

y＝8x－15

【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y1kx2消去x得ky216y1612k0

y1kx2①，由2y16xy1y2162y1,y2分别是A,B的坐标

kk8，代入①得y8x15.

2. 【答案】抛物线方程为y2＝－8x；m＝±26. p－，0，

【解析】法一：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F2m2＝6p，因为点M在抛物线上，且MF＝5，所以有p3－2＝5，m2＋2p＝4，p＝4，解得或

m＝26m＝－26.故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m的值为±26.

pp－，0，法二：由题可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F准线方程为x＝，

22根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，

p则3＋＝5，

2∴p＝4，

∴抛物线方程为y2＝－8x. 又点M(－3，m)在抛物线上，

∴m2＝24，∴m＝±26. 3. 【答案】4.1米

【解析】

如图所示：

(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，

5因为点C(5，－5)在抛物线上，所以p＝. 2所以该抛物线的方程为x2＝－5y. (2)设车辆高h，则DB＝h＋0.5，

故D(3.5，h－6.5)，

代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，

所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.

4. 【答案】抛物线方程为y2＝45x. 51【解析】

设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，

ky＝kx，2p由2得x＝0(舍)或x＝2，

ky＝2px，2p2p22，∴A点坐标为，B点坐标为(2pk，－2pk)，

kk由|OA|＝1，|OB|＝8，

2k2111644p4262k可得解方程组得k64，即k4.则p22，

kk154p2k2k216425又p>0，则p＝，

5故所求抛物线方程为y2＝

45x. 5

五

、课堂小结

1.

抛物线的标准方程和几何性质

2.

抛物线的几何性质的应用

3.

焦点弦长公式

4.

抛物线中的最值问题

基础

51．抛物线x2＝2y上的点M到其焦点F的距离MF＝，则点M的坐标是________．

22．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

3．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．

4．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线

y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．

答案与解析

1.【答案】

(±2,2) 151－＝，y＝2，所【解析】

设点M(x，y)，抛物线准线为y＝－，由抛物线定义，

y－222以x2＝2y＝4，x＝±2，所以点M的坐标为(±2,2)．

2. 【答案】

5

4

六

、课后作业

3【解析】

如图，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝3，CD＝，所以中点C的横2

3155坐标为－＝，即C到y轴的距离为. 2444

3. 【答案】

y2＝8x 【解析】设动圆半径为r，动圆圆心O′(x，y)到点(2,0)的距离为r＋1.O′到直线x＝－1的距离为r，∴O′到(2,0)的距离与O′到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x. 54.【答案】

x＝－

45【解析】

由题意可求出线段OA的垂直平分线交x轴于点4，0，此点为抛物线的焦点，5故准线方程为x＝－. 4

巩固

1.（苏北三市三模）6．已知点F为抛物线y4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A2到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为

▲

．

2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2px经过点4，2

，则实数p

▲

．

23.(南京盐城一模)6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为

▲

.

x2y21渐近线的距离为

▲

．4.（苏北四市期末）7．抛物线y4x的焦点到双曲线

169答案与解析

21.【答案】4

3【解析】联立方程求A点坐标，再求斜率。

12. 【答案】

2【解析】代入方程求解

3. 【答案】9

2【解析】代入方程求解

4. 【答案】3

5【解析】点到直线的距离公式的运用.

拔高

2

1.(2015·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：x4y的焦点为F，定点A(22，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN=

. 2. (1)已知M为抛物线y4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3，1)，求MP+MF的最小值. (2)给定抛物线y2x，设Aa,0,a0，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小22值. 3. (2015·苏北四市期末)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2px(p>0)的准线方程2为x=-1，过点M(0，-2)作抛物线的切线MA，切点为A(异于点O).直线l过点M，与抛物线4交于B，C两点，与直线OA交于点N. (1)求抛物线的方程. (2)试问：MNMN+的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. MBMC

4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(经过焦点的弦)AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，

y1y2y2)，则的值一定为

. x1x2答案与解析

1.【答案】1∶3 【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF的方程为x22+y=1，将它与抛物线方程1x2，1x-22，2，M联立解得或依题意知交点在第一象限，故取.准线方程为12y2.y21FM2=1. y1，故易求得点N(42，-1)，所以由三角形相似性质得=MN1-(-1)32FM=1. 方法二：如图，设点M到准线的距离为MB，则根据条件得MB1-

(例2) 1212=-=，

又因为F(0，1)，所以直线FA的斜率为k=，

从而sin∠ANB=-224183即

2. 【答案】(1)(MP+MF)min=1+3=4.(2)0

142=(x0-a)22x0=[x0(1-a)]22a-1. 所以d=PA=(x0-a)2y0

因为a>0，x0≥0，因此，①当00，此时有x0=0，dmin=(1-a)22a-1=a；

②当a≥1时，1-a≤0，此时有x0=a-1，dmin=2a-1.

3. 【答案】-4. 【解析】当AB⊥x轴时，Ayypp，p，B，-p，所以12=-4，

x1x222当AB与x轴不垂直时，设AB的斜率为k，

pp2k2p22222=0，所以x1x2=则lAB：y=kx-，代入y=2px，得kx-(kp+2p)x+，

244k2p2px1+x2=，

2k2pppky1y2kx1-x2-2(x1x2)k2p2=+

22=k-2所以x1x24x1x2x1x2x1x22pk2k2p2p·22k2=k-+k2=2k2-2(k2+2)=-4. 2p4y1y2=-4. 综上，x1x24. 【答案】

【解析】(1)由题意得-p11=-，解得p=，所以抛物线的方程为y2=x. 242(2)因为函数y=-x的导函数y'=-12x.设切点A(x0，-x0)，所以y'xx0=-1，

2x011x0(x-x0)，即y=-·x-. 则直线MA的方程为y+x0=-2x02x02因为点M(0，-2)在直线MA上，所以-2=-x02，解得x0=16，所以点A(16，-4)，

所以直线OA的方程为y=-1x.设直线BC的方程为y=kx-2(k存在且不等于0). 4y2x，224k14xx=. 由得kx-(4k+1)x+4=0，所以xB+xC=，BC22kkykx-2，18y-x，由，

4得xN=4k1ykx-2，84k1·MNMNxNxNxN(xBxC)4k1k2+=+===2，

所以4xxxxMBMCBCBCk2MNMN故MB+MC的值是定值为2