习题2.4教学设计案例

2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）

直线与抛物线的位置关系

应用创新点

本节课借助几何画板动画演示，让学生直观生动的了解直线与抛物线的位置关系，在动画演示过程中发现了“特殊直线”，解决了“数与形”的联系，突破了难点；再者，通过小组合作,利用投影和展台等媒体展示学生自主讲解,增强了学生的自信，强化了一题多解，强调了数学思想。

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1.“直线与圆锥曲线的位置关系”一直是教学与高考的重点内容，该内容涉及到“转化，分类讨论，函数与方程，数形结合”等重要的数学思想。本节课类比椭圆，双曲线的学习方法，总结“直线与圆锥曲线的位置关系”的一般方法，体现教材的系统性和全面性。

学情分析

学生在此之前学习了“直线与椭圆，双曲线的位置关系”,对基本方法有所掌握，但是不够系统，对知识之间的联系，思想方法的熟练运用程度不够。本节课采用类比的方法研究“直线与抛物线的位置关系”,在知识的衔接上起到总结归纳的作用。

教学目标

1．知识与技能目标：

结合多媒体,掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法,弦长及最值问题. 2．过程与方法目标：

（1）让学生学会联立方程组的解析法与坐标法

（2）在推导过程中进一步渗透数形结合,函数等数学思想和方法

3．情感态度与价值观目标：

（1）让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神. （2）培养学生类比思想,并能懂得欣赏数学的有用性. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 重点难点

1.教学重点：掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题. 2.教学难点：能利用方程及数形结合思想解决弦长,弦中点,最值等问题. 教学过程

☆情境引入☆

结合生活中的实例（信号弹划过天空的痕迹，桥梁的形状，舞动的喷泉）,说明抛物线知识的有用性.熟练掌握抛物线的几何性质是解答抛物线基本问题的法宝，这节课我们继续运用抛物线的几何性质研究直线与抛物线的位置关系. ☆探索新知☆

问题1：类比椭圆、双曲线内容，你能总结直线与抛物线位置关系的判断方法及步骤吗？

答:将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线_______，

1

若Δ>0，则直线与抛物线_______，若Δ<0，则直线与抛物线____________．特别地，当二次项系数为零时，直线与抛物线有_____个公共点．

小结:在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问题．

知识应用

例1直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y＝4x，当k为何值时，l与C有一个公共点，两个公共点，没有公共点？

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[分析]直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．特别地，当二次项系数为零时,直线与抛物线有且仅有一个公共点．

判断直线与抛物线的位置关系主要用代数法，用几何画板动态演示随斜率k的变化,直线与抛物线交点的个数.得出与抛物线对称轴平行的直线与抛物线有且仅有一个公共点．生动直观,突破难点. 问题2：过P（0,1），且与抛物线有一个公共点的直线有几条？

问题3：过点Q（1,2）,且与抛物线有一个公共点的直线有 条？

过点S(1,1) ,且与抛物线有一个公共点的直线有 条？

归纳:结合课件,按照点在抛物线上,抛物线内,抛物线外三种情况,找切线和对称轴的平行线.

问题4：若直线与曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长公式是什么？

若斜率为k的直线与抛物线两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k|x1－x2|＝

211＋2|y1－y2|．

k12变式：直线l：y＝x＋1与抛物线C：y＝4x，相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，（1）求弦长AB.（2）求2弦AB中点M的坐标

设计意图:分工合作,投影展示,解决弦长和中点问题.(方程组思想和点差法适当使用).

探究与反馈 2例2在抛物线y4x上求一点P，使得点P到直线yx3的距离最短。

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设计意图:通过小组合作,利用媒体展示学生自主讲解,解决最值问题.(数形结合思想和函数思想适当使用)增强学生自信,调动学习数学的兴趣.

总结提升: 题型一：直线与抛物线位置关系的判断

题型二:弦长问题

题型三:中点弦问题

题型四:最值问题

拓展与思考：

已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．

[方法规律总结]:直线与抛物线相交弦长问题，一般将直线与抛物线方程联立，消元化为一元二次方程，用根与系数的关系求解．

☆课后作业☆:试卷

教学反思

由于前面己经学习了较为复杂的两种圆锥曲线——椭圆和双曲线,对于它们的定义,方程,几何性质都有较深刻理解,己积累一定经验,对抛物线这一部分己有一定的自学能力,故本节在抓好基础知识的同时,注重激发学生学习的兴趣,提高动手能力,重视在教学中实践性环节,丰富学生的感性认识,扩大视野,重视学生直接经验的作用,同时注重学生在自我探索过程中发现知识,培养探究意识.让学生成为一名自主的学习者和探索者,让学生处在一种对知识的追求状态中. 总体来说,这堂课的效果不错,但是学生画图时仍然存在一定的问题,下堂课需要强化这一点.其次,学生的学习能力有待加强,只要涉及到曲线和直线的位置关系,总有部分同学不会把以前的知识迁移到这里,这也是以后教学的重点.

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