习题3.1教案设计（一等奖）

3.1.5空间向量运算的坐标表示的应用

学习目标：

1、

掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。

2、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。

学习重点、难点：

1、利用空间向量的坐标运算证明线线垂直。

2、利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。

3、利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。

学习过程：

一、复习回顾

空间向量的直角坐标运算：

1．设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；

⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3. 2．两个向量共线或垂直的判定：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a//ba＝λba1b1,a2b2,a3b3，(R)⑵a⊥ba·b=0a1b1a2b2a3b30

3．向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，则｜a｜＝a1a2a3

4．空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2)，则A，B两点间的距离

222a1a2a3；

b1b2b3dABAB(a2a1)2(b2b1)2(c2c1)25、两个向量夹角公式

aba1b1a2b2a3b3cosa,b|a||b|a12a22a32b12b22b32

1

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；

当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

6、两向量夹角的取值范围是0，；两异面直线所成角的取值范围是0，

,2三、应用举例

例1. 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．

分析：如何建系？

→

点的坐标？

→

如何用向量运算求夹角？

解：设正方体的棱长为1，如图建

立空间直角坐标系O-xyz，则

3B(1,1,0),E11,,1,

41D(0,0,0),F10,

， 1.

413BE11,,1(1,1,0)0,,1,

4411DF10,

， 1(0,0,0)0,

， 1.

441511BE1DF10011,

4416|BE1|1717,|DF1|.

44cosBE1,DF1BE1DF115.

|BE1||DF1|171717441516因此BE1与DF1所成的角的余弦值是15。

17例2、如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(

)

2

A.

B.

C.

D.

解析:不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0), 则=(-2,2,1),=(0,2,-1), 从而cos<>=

=, 故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

.

例3：

如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EFDA1. 证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA，DC,DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则

111E(1,1,),F(,,1),

222所以

EF(

111,,).

222又A,0,1),D(0,0,0),

1(1所以DA,0,1).

1(1所以

EFDA1(111,,)(1,0,1)0.

222因此

EFDA1。

1,即EFDA三、随堂练习

1.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．

3

(1)求BN的长；

(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BB1,CD的中点，

求证：D1F平面ADE

四、课堂小结

【方法技巧】求两直线夹角的步骤

z

D

A

D

A

x

C

B

E

y

F

C

B(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上. (2)求方向向量：依据点的坐标求出直线方向向量的坐标. (3)代入公式：利用两向量的夹角公式计算两直线方向向量的夹角. (4)转化：把两向量的夹角转化为异面直线的夹角时注意角的范围. 五、作业

课本P985、8、10题。

六、教学反思

将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决一些夹角和距离的计算问题，而且还可以使一些问题的解决变得简单，本节3个例题分别是利用空间向量的坐标运算求夹角和证明垂直问题，它们的关键在于选择直角坐标系，这也是在长方体中建立空间直角坐标系的常用方法。

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