1.2.1 充分条件与必要条件特级教师教学实录

充分条件与必要条件 第一课时

教学设计

（人教版高中数学

人教A版2003课标版）

一、教材分析

《充分条件与必要条件》是本章的重点内容也是高中数学的重点内容和高考的热点。现行教学大纲把教学目标定位在“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论的逻辑关系，目的是为了今后的学习，特别是数学推理的学习打下基础。这是一节概念课，是高中数学的重点课、难点课。

在现行教材中这节内容被安排在数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》中的“命题及其关系”之后。编写者在数学概念的处理上，贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，对定义简洁精炼，而对教材的例题、练习题编排比较充分。实践证明现行教材是比较切合实际的。因为：①有了

“命题及其关系”这节内容的铺垫，这将有助于学生对充分条件、必要条件及充要条件概念的学习理解；②教学时间的前置，让学生有足够的时间来进行滚动的巩固训练，以便达到预期效果。③题量的增加，使知识在训练中得以巩固。

二、学情分析

这是一堂新授课，学生在学习本小节时由于是第一次学习充分条件和必要条件，学生学习这一概念时的知识储备不够丰富、逻辑思维能力的训练还不够充分。所以，学生理解充分条件与必要条件比较困难（特别是必要条件的理解），需要有足够的理解、消化、训练的时间才能达到熟练掌握的要求。学习是一个渐进的过程，现行教材在小结与复习中把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，而不是一步到位达到高考要求——“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

三、教学目标

（1）

知识目标：

1、

理解充分条件、必要条件、充要条件的定义及简单运用。

2、能利用充分条件、必要条件，充要条件的概念，熟练判断四种命题间的关系。

（2）能力目标：

1

1、培养学生的观察能力与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，观察其共性及个性。

2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，观察后归纳，总结出一般规律。

3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析类比，对归纳出来的结论，建构于自己的知识体系中。

（3）情感目标

通过本节学习，使学生体会到教学的简洁美，感受到数学严谨的逻辑，同时认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。

通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并且在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

四、教学重难点

【教学重点】：正确理解相应概念，并在分析中正确判断。

【教学难点】：充分性与必要性的判断

五、教法及学法

教法：情景引导，师生互动

学法：自主探索，合作交流

教学手段：多媒体辅助教学

六、设计思路

教师创设情境，激发兴趣，引出课题---引导学生分析实例，给出定义---例题分析---知识小结---扩展例题---练习反馈。

七、教学过程

（一）课前设计

1.预习任务

（1）充分条件：如果p⇒q，则p叫做q的_________条件，原命题（或者逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的_________条件．

2

（2）必要条件：如果q⇒p，则p叫做q的_________条件，逆命题（或者否命题）成立，命题中的条件是必要的，也可称q是p的_________条件．

预习自测

1．用符号“⇒”与“”填空：

（1）

x2y2

x=y；

（2）

内错角相等

两直线平行；

（3）

整数a能被6整除

a的个位数字为偶数；

（4）

ac=

a=b.

【知识点】充分条件的判断．

【解题过程】

2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x=1，则x23x40（2）若f（x）=；

)上为增函数；

，则f（x）在(,（3）若x为无理数，则x2为无理数．

【知识点】充分条件的判断．

【解题过程】（1）（2）显然成立；（3）

中若x为有理数．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】（1）（2）．

3．下列“若p，则q”的形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

2为无理数，而x=22

3

（2）若x>5，则x>10．

【知识点】充分条件的判断．

【解题过程】（1）中斜率相等的直线可能平行或重合；（2）显然不成立．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】（1）（2）中p都不是q的充分条件．

4．下列“若p，则q ”形式的命题中哪些命题中的q是p必要条件？

（1）若x=，则x=y22；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；

（3）若a=，则ac=．

【知识点】必要条件的判断．

【解题过程】q是p必要条件等价于p是q的充分条件．（1）（2）显然成立；（3） a=0，b<0时不成立．

【思路点拨】举反例说明可能出现不成立的情形．

【答案】（1）（2）

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）四种命题的表示形式；

（2）四种命题的关系；

（3）四种命题的真假判断．

2．问题探究

探究一

结合实例理解充分条件与必要条件

●活动①

创设情境，引入概念

写出下列两个命题的条件和结论，并判断它们的真假．（抢答）

4

（1）若x>10，则x>5；

（2）若x+y>2，则x>2．

学生很快就可以回答命题的条件和结论并判断出（1）真（2）假．

问题：对于“若p则q”形式的命题，时真时假，如何判断它的真假呢？

答：若p能推出q，则为真命题，若p不能推出q，则为假命题．

【设计意图】通过强调命题的条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫，命题有真有假．通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程．

●活动②

概念辨析，巩固概念

当命题“如果p，则q”经过推理证明为真命题时，我们就说由p可以推出q，记作“p⇒q”，读作“p推出q”

．

定义：一般地，如果有p⇒q，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．

定义：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，记为pq，那么p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件简称充要条件。

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)p⇒q，而q(2)pp，则p是q的

充分不必要

条件。

q，而q⇒p，则p是q的

必要不充分

条件。

(3)p⇒q，又有q⇒p.（或qp），则p是q的

充要

条件。

(4)pq，又有qp，则p是q的

既不充分也不必要

条件。

例如活动①中的例子“若x>10，则x>5”是一个真命题，则可以写成“x>10⇒x>5”．所以x>10是x>5的充分条件，x>5是x>10的必要条件．

强调说明：“p⇒q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．

【设计意图】通过概念辨析，加深对充分条件、必要条件的理解，提升学生的认识水平，从不同角度帮助学生理解“充分”和“必要”．

5

●活动③

例题剖析．

例1 判断下列问题中，p是q的充分条件吗？

（1）p：x为无理数

q：x2为无理数；

（2）p：x>a2+b2

q：x>2ab；

（3）p：两条直线的斜率相等

q：两条直线平行．

【解题过程】（1）（2）（3）中p不能推出q，所以p不是q的充分条件．

【思路点拨】判断p是否是q的充分条件，就看p能否推出q．

【答案】（1）（2）（3）中p不能推出q，所以p不是q的充分条件．

例2、

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

(1) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

(2) 若a>b，则ac>bc。

例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?

(1)p: b=0,

q: 函数f(x)=ax2 +bx+c是偶函数;

(2)P: x>0,y>0,

q: xy>0;

（3)P: a>b,

q: a+c>b+c 3、 巩固训练

练习1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件. （1）p：x<1

q：x<2；

q：四边形为正方形．

（2）在四边形中，p：四个角均为90度（2）p: x-1=0 ; q: (x-1)(x+2)=0 （4）p:四边形的四条边相等

;

q:四边形是正方形

（5）p:两直线平行；

q:内错角相等

(6)p:a>b ; q：a2>b2

6

【思路点拨】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式，以全面认识和理解概念．

练习2 ．如图所示，在下列电路图中闭合开关A是灯泡

B亮的什么条件？

（１）开关A闭合是灯泡B亮的

条件；

（２）开关A闭合是灯泡B亮的

条件；

（３）开关A闭合是灯泡B亮的

条件；

（４）开关A闭合是灯泡B亮的

条件。

4、小结

本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. 判断充分条件与必要条件的依据是：

(1)p⇒q，而q(2)pp，则p是q的

充分不必要

条件。

q，而q⇒p，则p是q的

必要不充分

条件。

(3)p⇒q，又有q⇒p.（或qp），则p是q的

充要

条件。

(4)pq，又有qp，则p是q的

既不充分也不必要

条件。

5、作业

7

八、关于教学设计的思考

充分必要条件这节课应该如何上，我多年来一直感到特别的困惑！今年我结合这部分高考出题的一般规律，设计了这节课的教学内容，主要目的是使学生正确理解相应概念，初步掌握判断的基本方法

1.本节课重难点是判断命题的充分条件，必要条件，充要条件的方法，所以这节课效果的好坏，体现在对这两点实现的程度上，因此，作业应用绕这两方面设计。

2.充分条件、必要条件、充要条件是高中数学中几个重要的数学概念，它们之间有紧密的联系，如分开讲则不利于学生掌握，分析教材，联系实际，将本节内容安排了两个课时，第一课时讲清定义及简单的判断方法，第二节课加强这几个“条件”的应用，提高逻辑思维能力，本教案为第一课时。

3.本节概念课理论较强，一般学生感到枯燥无味，因此，激发兴趣是关键，不断启发是手段，从而使学生为主体，教师为主导，师生互动达到教学目的。

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