3.1.2 空间向量的数乘运算第二课时教学实录

3.1.2空间向量的数乘运算

【学情分析】：

本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题

当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题

【教学目标】：

（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算

（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题

【教学重点】：

空间向量的数乘运算及运算律

【教学难点】：

用向量解决立几问题

【教学过程设计】：

一.复习引入

空间向量的概念及表示；向量的加减运算的几何意义．

二.思考分析

问题1：向量a与b共线的条件是什么？

提示：存在唯一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？

提示：一定；不一定．

问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)? 提示：不能．

三.抽象概括

1．空间向量的数乘运算

(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积

λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

(2)向量a与λa的关系：

λ的范围

λ>0

λ＝0

λ<0

方向关系

方向相同

λa＝0，其方向是任意的

方向相反

模的关系

λa的模是a的模的|λ|倍

(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有

①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. ②结合律：λ(μ

a)＝(λμ)a. 2．共线向量

共线(平行)向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互定义

相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.

如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直线l的方向向推论

如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝x

MA＋y

MB

，量，如图所示. 若在l上取或对空间任意一点O来说，有OP＝若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量

共面向量

AB＝a，则①式可化为OP

＝OA＋t

AB

. 1．λa是一个向量．当λ＝0或a＝0时，λa＝0. OM＋x

MA＋y

MB. 2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．

3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．

4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．

5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP＝x

OA＋y

OB＋z

OC，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面．

四.例题分析及练习

1

[例1]

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AM＝2

MC，A1N＝2 ND.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN.

[思路点拨]

先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN表示成其他向量，然后进一步用a，b，c表示MN. [精解详析]

如图所示，连接AN，

1则MN＝AN－AM＝AA＋－AC

AN11321＝AA＋－(AB＋BC) AD131321＝AA＋(－)－(AB＋AD) ADAA113321＝c＋(b－c)－(a＋b) 33111＝－a＋b＋c. 333[感悟体会]

用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MN表示为MN＝MA＋AA1＋A1N. 训练题组1 1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是(

)

11111111A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

C.a－b＋c

D．－a－b＋c

2222222211111解析：B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(AD－AB)＝B1B＋AD－AB＝－a＋b＋c. 22222答案：A 2．已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：

(1) OQ＝PQ＋xPC＋yPA；

(2) PA＝xPO＋yPQ＋PD. 1解：(1)∵OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC) 2111＝PQ－PA－PC，∴x＝y＝－. 222(2)∵PA＋PA＝2PO，∴PA＝2PO－PC. 又∵PC＋PD＝2PQ，∴PC＝2PQ－PD. 从而有PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD. ∴x＝2，y＝－2. [例2]

如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线．

[思路点拨]

分析题意→CE＝CB＋BE

→根据M，N的位置表示出MN

→

根据CE与MN的关系作出判断

[精解详析]

∵M，N分别是AC，BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

1111∴MN＝MC＋CB＋BN＝AC＋CB＋BF＝(BC－BA)＋CB＋(BA＋BE) 22221111＝BC＋CB＋BE＝(CB＋BE)＝CE. 2222∴CE∥MN，即CE与MN共线．

[感悟体会]

判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．

当堂训练

1．下列说法正确的是(

) A．若|a|＜|b|，则a＜b

B．若a、b为相反向量，则a＋b＝0 C．空间内两平行向量相等

→→→D．四边形ABCD中，AB－AD＝DB

【解析】

向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确．

【答案】

D 2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(

) A．共面向量

B．共线向量

C．不共面向量

D．既不共线也不共面向量

【解析】

由共面向量定理易得答案A. 【答案】

A 3．(a＋2b)－3(a－b)＝________. 【解析】

原式＝a＋2b－3a＋3b＝－2a＋5b. 【答案】

－2a＋5b

4．如图3－1－8，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，M为AC′的中点．化简下列各式．

图3－1－8 →→(1)AA′－CB；

→→→(2)AB′＋B′C′＋C′D′；

1→1→1→(3)AD＋AB－A′A. 222→→→→→→→解

(1)AA′－CB＝AA′＋BC＝AA′＋A′D′＝AD′；

→→→→(2)AB′＋B′C′＋C′D′＝AD′；

1→1→1→1→1→1→1→→→1→→(3)AD＋AB－A′A＝AD＋AB＋AA′＝(AD＋AB＋AA′)＝AC′＝AM. 22222222小结

1．空间向量的数乘运算

2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

3．平面的向量表达式解决共面问题

作业

课本P97习题3.1，A组

第1题（3）、（4），第2题