1.2.1 充分条件与必要条件教案公开课一等奖

1.2充分条件与必要条件

罗源一中

巫智杰

（一）教学目标

知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． 情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

（二）教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)

难点：判断命题的充分条件、必要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

（三）教学过程

情景创设：

1.“深山藏古寺”：传说古代有一次考画师，画题是“深山藏古寺”，许多考生都按题意作了画，有的画面上是崇山峻岭，在松柏深处有座寺庙，有的画面上在山峦之间只露出寺庙的一角，有的只有山峦之间画出一幅高高飘着的幡，可是这些画都没被考官选中，另有一位考生别出心裁在画面上只有起伏的山峦，密密的松林，唯独没有寺庙，也没有任何寺庙的标志，只有一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山，最后这幅画被评为第一名。

故事中和尚担水上山和深山古寺之间有什么逻辑关系呢？（如果有和尚担水上山，那么山里就有寺庙……）

2.“万事具备只欠东风”,这是很多人耳熟能详的《三国演义》中的故事，请问“东风”是“火烧赤壁”的什么条件？

第一个例子中，深山中有无古寺，由“和尚担水上山”这一点就“充分”地说明了；

第二个例子中,“东风”对“火烧赤壁”是必不可少的、必要的。

当然生活中还有好多类似的例子，在数学中也有关“充分”“必要”的问题，在这节中我们就探讨这一问题。

新知讲解：

[来源:Z&xx&k.Com]若为真命题则记为pq

若p则q若为假命题则记为pq一般的：pq表示“若p则q”是真命题，否则表示假命题。

概念辨析

下列命题用推断符号分别怎样表示？

⑴

若ab，则acbc；

abacbc

⑵

若ab，则acbc；

abacbc

⑶

若x0，则x20；

x0x20

⑷

若x1，则x0．

x1x0

充分条件与必要条件：一般地，如果已知pq那么就说，p是q的充分条件，q 是p 的必要条件．

例如：

1.xabx2ab

22xa2b2是x2ab的充分条件

x2ab是xa2b2的必要条件

2.两三角形全等两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．

两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．

例1．下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件，q是p的必要条件？

（1）若x1，则x4x30；

22（2）若xy，则xy；

2（3）若x为无理数，则x为无理数；

（4）若三角形的三条边相等，则它的三个角也相等。

能力测试

1、用符号“充分”或“必要”填空：

（1）“0x5”是“x23”的______条件。

（充分）

（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的______条件。

（必要）

（3）“xy0”是“xyxy

”的______条件

。

（充分）

（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的________条件。

（充分）

2、下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若两直线的斜率相等，则这两条直线平行；

（2）若x > 5，则x > 10。

3、下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若a + 5是无理数，则a是无理数；

（2）若xaxb0，则x = a。

定义:如果既有pq又有qp，则称:p是q的充分必要条件,简称充要条件。

显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件

充要条件：同一事物

归纳：

1.如果

，那么p 与

q互为充要条件；

pq且qp

2.如果

，那么p是q的充分但不必要条件；

pq但q3.如果

，那么p是q的必要但不充分条件；

pq且q

p

p2

4.如果

，那么p是q的既不充分也不必要条件。pq且qp

从集合角度看

设：Ax|x满足条件pBx|x满足条件q

(1)若AB且BA，则称p是q的充分不必要条件

(2)若AB且BA，则称p是q的必要不充分条件

(3)若AB且BA，则称p是q的既不充分也不必要条件

(4)若AB且BA,即A＝B,称p是q的充要条件

例2：下列各题中，哪些

p是q的充要条件？(1)p:b0，q:函数f(x)ax2bxc是偶函数;(2)p:x0，y0，q:xy0;(3)p:ab，q:acbc.解:在(1)(3)中，pq，所以(1)(3)中的p是q的充要条件。在(2)中，qp，所以(2)中的p不是q的充要条件。例3.（1）已知ABCD是凸四边形，那么“ACBD”是“四边形为矩形”的什么条件？说明理由。

（2）命题“质数是奇数”中条件是结论的什么条件？

（3）写出x0的一个必要不充分条件和一个充分不必要条件。

点拨：给出一个数学命题首先要判定命题的真假，然后再判定条件与结论的关系。判断关系关键就是看由谁推出谁。

例4.已知:圆O的半径r,圆心O到直线L的距离为d,求证：dr是直线L与圆O相切的充要条件。

分析:设p:dr,

q:直线L与圆O相切

需分别证明（１）充分性（pq）；（２）必要性（qp）

证明：如图，作OPl于点P，则OPd．

(1)充分性（pq）: 若dr则点P在圆O上。在直线l上任取一点Q

(异于点P),连接OQ。在RtOPQ中,

OQOPr。所以,除点P外,直线l上的点都

在圆O的外部。即直线l与圆O仅有一个公

共点P。因此,直线l与圆O相切。

(2)必要性（qp）

若直线l与圆O相切,不妨设切点为P,则

OPl.因此, dOPr。

故dr是直线L与圆O相切的充要条件。

探究

探究1:若p是q的充分条件，则﹁p是﹁q的什么条件？

﹁p是﹁q的必要条件.

探究2:若p是q的必要条件，则﹁p是﹁q的什么条件？

﹁p是﹁q的充分条件.

探究3:若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？

充分条件与必要条件是共存的，如果p不是q的充分条件，则q也不是p的必要条件. 练习：

1.若A是B的充要条件，B是C和D的必要条件，E是D的充分条件，E是A的充要条件，

1.E是B的充要条件，

2.C是A的充分不必要条件，

3.A是D的充要条件，

4.D是C的必要不充分条件.

2. ①r是q的充要条件；

②p是q的充分不必要条件；

③r是q的必要不充分条件；

④┐p是┑s的必要不充分条件；

⑤r是s的充分不必要条件. 则正确命题的序号是（

）

A.①④⑤

B.①②④

C.②③⑤

D.②④⑤

回顾与小结：

本节课学习了如下内容：

1．充分条件、必要条件和充要条件的有关概念．

2．充分条件、必要条件和充要条件的判断方法．

3．充分条件、必要条件和充要条件的符号表示

作业 P12：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题

注：（1）条件是相互的；

（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：

①

p是q的充分而不必要条件；

②

p是q的必要而不充分条件；

③

p是q的充要条件；

④

p是q的既不充分也不必要条件．

[来源:学科网][来源:学_科_网]