习题2.1优秀说课稿

曲线和方程

教学目标：

1.初步掌握曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系，并

能根据定义作简单的判断与推理；

2.初步感知求曲线方程的方法；

3.进一步培养学生的逻辑推理能力与抽象思维能力

教学重、难点：曲线的方程、方程的曲线的概念

教学过程：

一、

新课引入

1．研究下列各对曲线和方程的关系：

（1）曲线：第一、三象限的角平分线C 方程：

xy0

（2）曲线：顶点在原点且过点1,1的抛物线C 方程：yx2

（3）曲线：到坐标轴距离相等的点组成的直线C 方程：xy0

（4）曲线：△ABC的中线AO，其中O为原点，A（0，3），B（-2，

0），C（2，0）. 方程：x0 2．曲线C与方程f(x,y)0的关系有以下四种：

①曲线上C的点的坐标都是方程f(x,y)0的解；

②以方程f(x,y)0的解为坐标的点都在曲线C； ③同时满足①②；

④既不满足①，也不满足②. 二、重要概念

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系：

（1）

曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

1

（2）

以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 推论：如果曲线C的方程是f(x,y)0，那么P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)0．

三、

尝试练习：

1．

判断

（1）已知A、B的坐标分别为A1,2，

B2,3，方程x2xy2y10的图形为C，则点A在图形C上、B不在图形C上. （ ）

（2）到x轴的距离为3的点的轨迹方程为y3. （ ）

（3）等腰△AOB中，底边的OB的两个端点是O0,0，B2,0.则顶点A的轨迹方程为x1. （ ）

2．选择

（1）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 （ ）

A.xy0 B.xy0 C.xy0 D.xy0

（2）如果曲线C上的点满足方程f(x,y)0，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C的方程是f(x,y)0

B.方程f(x,y)0的曲线是C

C. 坐标满足方程f(x,y)0的点在曲线上

D. 坐标不满足方程f(x,y)0的点不在曲线上. 53．填空：已知方程ax2by225的曲线经过A0,和B1,1，则a= ，3b= . 四、经典范例

例1．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆C的方程是x2y225，并判断点M1(3,4)，M2(25,2)是否在这个圆上. 证明：（1）设M(x0,y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x02y025，也就是x02y0225．即(x0,y0)是方程x2y225的解．

（2）设(x0,y0)是方程x2y225的解，那么x02y0225，两边开方取算术

2

根，得x02y025，即点M(x0,y0)到原点的距离等于5，点M(x0,y0)是这个圆上的点. 由（1），（2）可知，x2y225是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程. 把点M1(3,4)的坐标代入方程x2y225，左右两边相等，(3,4)

是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(25,2)的坐标代入方程x2y225，左右两边不等，(25,2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．

说明：

（1）证明曲线C的方程是f(x,y)0必须证明以下两点：1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都在曲线上；

（2）判断点是否在曲线上转化为验证点的坐标是否满足方程. 五、强化练习

1．判断下列各题中的方程是否为曲线的方程：

（1）方程：x3 曲线：经过点3,0且垂直于x的直线. （2）方程：y25x2

曲线：以原点为圆心，5为半径的圆

（3）

方程：xy20

曲线：与第一、三象限角平分线距离为1的点的轨迹

2．

选择题：

（1）下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是 （ ）

22A.yx与yx2 B.x1y20与x1y20 1x（2）方程x2xyx的曲线是 （ ）

C.y与xy1 D.ylgx2与y2lgx

A.一个点 B.一条直线 C. 一个点和一条直线 D. 两条直线

3．填空题：

（1）方程yax2bxc的曲线经过原点的充要条件是 . （2）已知等腰△OAB中，O为原点， AB为底边，且B点坐标为5,0，则点A的轨迹方程为 . （3）方程xyx20的图形是 .

3

4．证明题：已知点Px0,y0在曲线f(x,y)0上，也在曲线gx,y0上，求证点在曲线fx,ygx,y0上. 证明：Q点Px0,y0在曲线f(x,y)0上，也在曲线gx,y0上，

fxo,y00，gxo,y00，

fx0,yogxo,y00，

即点在曲线fx,ygx,y0上. 六、小结提高

1．主要内容

（1）曲线和方程的概念：曲线的方程、方程的曲线（图形）. （2）一个结论：如果曲线C的方程是f(x,y)0，那么P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)0．

2．与以前知识的联系

（1）曲线和方程～函数和图象

联系：都体现了数形结合，函数和图象可以分别看成是曲线和方程的特殊情形. 区别：①从外延来讲，方程的概念很宽泛，函数的解析式都可以表示为方程的形式；从内涵来说，函数的含义非常丰富. ②函数是非空数集之间的一种对应关系，体现的是一种数量关系，图象是函数的一种表现形式；而方程是从曲线的几何特征出发，建立的曲线几何特征的代数关系表达式.他们从不同的侧面体现了数形结合. （2）方程和曲线～不等式和区域

一般情况下，一个二元方程f(x,y)0表示一条曲线，而一个二元不等

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式fx,y0（或fx,y0）表示一个区域. 如二元方程xy10表示一条直线，而二元不等式xy10表示直线xy10左下方的平面区域；又如二元方程x2y225表示一个圆，而二元不等式x2y20表示圆x2y225的内部. 七、课外作业：课本P72：1、2题；P88：A组22题；B组4题，8（1）题.

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