1.1.3 四种命题间的相互关系教学教案设计

四种命题间的相互关系

[学习目标] 1.掌握命题的逆命题、否命题与逆否命题的概念(重点、难点)．

2.认识四种命题间的相互关系及真假性之间的关系(重点)．

3.会利用逆否命题的真假性解决问题(难点)．

[知识提炼·梳理] 1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，

那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

2．四种命题结构

温馨提示

不是“若p，则q”形式的命题，最好先改写成“若p，则q”的形式，然后写出其他三种命题．

3．四种命题之间的关系

4．四种命题真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．

温馨提示

在四种命题中，真命题的个数可能为0，2，4个，不会出现奇数个．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个命题与其逆命题的真假性一样．(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．(

) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(

) (4)如果把四种命题中的逆命题作为原命题，则其否命题是它的逆否命题．(

) 解析：(1)原命题和逆命题的真假性无关，则不正确．(2)否命题是“若綈p，则綈q”，则不正确．(3)由于原命题与其逆否命题为等价命题；

原命题的逆命题与原命题的否命题也为等价命题，故四种命题中正确的个数不可能为奇数，只能为0或2或4，则正确 .(4)原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题，则正确．

答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

2．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝| b |”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠| b | B．若a＝－b，则|a|≠| b | C．若|a|≠| b |，则a≠－b D．若|a|＝| b |，则a＝－b

解析：条件“a＝－b”和结论“|a|＝| b |”互换后得到逆命题：若|a|＝|b|，则a＝－b. 答案：D 3．命题“若α＝π，则tan α＝1”的逆否命题是(

) 4ππA．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1 44C．若tan α≠1，则α≠解析：“若α＝ππ D．若tan α≠1，则α＝4

4ππ，则tan α＝1”的条件是“α＝”，结论是“tan α＝1”，故逆否44

命题是“若tan α≠1，则α≠答案：C π”．

44．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为

___________________________________________．

解析：否命题为“若綈p，则綈q”，则否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”．

答案：“若a≤b，则2a≤2b－1”

5．命题“若|a|＝|b|，则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

解析：原命题是假命题，则逆否命题也是假命题．逆命题：若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题，因此否命题也是真命题．所以四个命题中真命题的个数为2. 答案：2 类型1 四种命题的概念(自主研析) [典例1] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)若ac＞bc，则a＞b；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0. 解：(1)原命题：若ac＞bc，则a＞b.逆命题：若a＞b，则ac＞bc.否命题：若ac≤bc，则a≤b.逆否命题：若a≤b，则ac≤bc. (2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0. 逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2. 归纳升华

1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．

2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

[变式训练] 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：

(1)若b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实根；

(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0. 解：(1)逆命题：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实根，则b2－4ac＝0. 否命题：若b2－4ac≠0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有两个相等的实根．

逆否命题：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有两个相等的实根，则b2－4ac≠0. (2)逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0. 否命题：若xy≠0，则x≠0，且y≠0. 逆否命题：若x≠0，且y≠0，则xy≠0. 类型2 四种命题真假的判断

[典例2] 有下列命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题．

真命题有________．

解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0”为真命题，则逆否命题为真命题．则真命题有①②③④. 答案：①②③④

归纳升华

四种命题的真假判断的两种方法

1．利用真假命题的定义，由条件能推出结论，则命题为真命题，否则为假命题．当然可举反例判断命题为假命题．

2．由于互为逆否命题的两个命题同真同假，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的两个命题同真同假即可做出判断．

[变式训练] 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(只

填序号)．

解析：①的逆命题是：在空间中，若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1为模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三个顶点都不共线，

但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②的逆命题是真命题．

答案：②

类型3 等价命题的应用

[典例3] 判断命题“若a≥0，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

解：法一：逆否命题：若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：

因为方程x2＋x－a＝0无实根，

1所以Δ＝1＋4a＜0，解得a＜－＜0. 4所以命题“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”是真命题．

所以原命题“若a≥0，则方程x2＋x－a＝0有实根”为真命题．

所以其逆否命题也为真命题．

归纳升华

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

[变式训练] 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 解：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．

若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a. 又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以

f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，

所以

f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．

所以原命题为真命题．

课堂小结

1．写出一个命题的其他三种形式时的关注点：

(1)正确地将原命题改写成“若p，则q”的形式．

(2)正确地对原命题的条件和结论进行否定．

(3)对存在大前提的命题，注意在写其他三种命题时大前提不要改变．

(4)在一个命题及其他三种形式中，原命题是人为指定的，要注意它们之间的关系．

2．在判断命题的真假时，要注意互为逆否命题的等价性．