2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系公开课教学设计模版

2．1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

平面与平面之间的位置关系

明目标、知重点

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系；2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系；3.掌握空间中平面与平面的位置关系．

[情境导学]

一支笔所在的直线和一个作业本所在的平面有几种位置关系？即一条直线与一个平面有几种位置关系？今天我们就来研究这个问题．

探究点一

空间中直线与平面之间的位置关系

思考1

如下图，线段A′B所在直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？

答

线段A′B在平面A′ABB′内，与平面D′DCC′平行，与其余四个面相交．

小结

直线与平面的位置关系有且只有三种：

直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行，直线与平面没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a⊄α. 思考2

如何用图形表示直线与平面的位置关系？这种位置关系如何用符号语言表示？

答

图形表示如下图所示：

符号语言为：a⊂α；a∩α＝A；a∥α. 例1

下列命题中正确的个数是(

) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

如右图借助长方体模型来看命题是否正确．命题①不正确，相交时

也符合；命题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；命题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；命题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．

反思与感悟

空间中直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内(有无数个公共点)、直线与平面相交(有唯一公共点)、直线与平面平行(无公共点)．其中直线与平面相交或直线与平面平行统称为“直线在平面外”．

跟踪训练1

已知直线a在平面α外，则(

) A．a∥α

B．直线a与平面α至少有一个公共点

C．a∩α＝A

D．直线a与平面α至多有一个公共点

答案

D 解析

因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D. 探究点二

平面与平面之间的位置关系

思考1

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

答

从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有平行和相交．

思考2

如图所示，围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

答

这六个面中相对的任意两个面平行，相邻的任意两个面相交．因此六个面只有两种位置关系，即平行和相交．

小结

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

(1)两个平面平行——没有公共点；

(2)两个平面相交——有一条公共直线．

思考3

平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达？

答

平面与平面平行的符号语言是α∥β；

图形语言是：

例2

α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(

) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β

B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

答案

D 解析

A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点．

反思与感悟

判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．

跟踪训练2

两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

B 解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．

例3

下列说法中正确的个数是(

) (1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线．

(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面．

(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．

(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0个

C．2个

答案

A 解析

(1)错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有一条交线．

(2)错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内．

(3)错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．

B．1个

D．3个

(4)错误．如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β. 反思与感悟

(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

跟踪训练3

过平面外两点作该平面的平行平面，可以作(

) A．0个

C．0个或1个

答案

C 解析

平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：

①直线与平面相交．此时过平面外两点，不能作与该平面的平行平面．

②直线与平面平行．过平面外两点，能作惟一的一个平面与已知平面平行．

B．1个

D．1个或2个