1.4.3 含有一个量词的命题的否定教案教学设计导入整理

1．4．3

含有一个量词的命题的否定

1．通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

2．能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

含有一个量词的命题的否定

p ﹁p

结论

全称命题的全称命题∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，﹁p(x0) 否定是特称命题

特称命题的特称命题∃x0∈M，p(x0)

∀x∈M，﹁p(x) 否定是全称命题

(1)要否定全称命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x0，使得p(x0)不成立，也就是命题“∃x0∈M，﹁p(x0)”成立．

(2)要否定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，﹁p(x)”成立．

在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题﹁p的否定是p．(

) (2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(

) (3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)×

命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(

) A．∀x∈R，|x|＋x2<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0

D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0

答案：C

设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则﹁p为(

) A．∀n∈N，n2＞2n

B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n

D．∃n∈N，n2＝2n

答案：C

命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是_______________________．

答案：存在一个能被2整除的数不是偶数

探究点1

含有一个量词的命题的否定

写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：所有的方程都有实数解；

(2)q：∀x∈R，4x2－4x＋1≥0；

(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(4)s：某些平行四边形是菱形．

【解】

(1)﹁p：存在一个方程没有实数解，真命题．

比如方程x2＋1＝0就没有实数解．

(2)﹁q：∃x0∈R，使4x20－4x0＋1<0，假命题．

由于∀x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，

所以﹁q是假命题．

(3)﹁r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

(4)﹁s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．

写全称命题与特称命题的否定的思路

在书写全称命题与特称命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

1．命题“存在x0∈R，使2x0≤0”的否定是

(

) A．不存在x0∈R，使2x0>0 B．存在x0∈R，使2x0≥0 C．对任意的x∈R，都有2x≤0 D．对任意的x∈R，都有2x>0 解析：选D．“存在”改为“任意”，“≤”改为“>”，选D．

2．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：每一个素数都是奇数；

(2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行；

(3)p：有些实数的绝对值是正数．

解：(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题．

(2)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，﹁p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题．

(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，﹁p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．

探究点2

含量词的命题的应用

已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．

【解】

因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1<0”．

由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．

由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0，

解得a<－2或a>2．

所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

1．[变条件]若本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．

解：由题意知Δ≤0，则a2－4≤0，得－2≤a≤2．所以实数a的取值范围为[－2，2]．

2．[变条件]若本例中的“任意x∈R”改为“x>0”，求实数a的取值范围．

解：因为全称命题“对于x>0，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0>0，x20＋ax0＋1<0”．

由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．

Δ＝a－4>0由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：a－2≥0解得a<－2，

所以实数a的取值范围是(－∞，－2)．

若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．

已知函数f(x)＝x2＋ax－2．

(1)∀x∈[1，＋∞)，都有f(x)>0，求实数a的取值范围；

2

(2)∃x∈(1，＋∞)，f(x)<0，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)>0⇔x2＋ax－2>0，又x≥1，

所以2x－x

设g(x)＝2x－x(x∈[1，＋∞))，

依题意得g(x)

又g(x)在[1，＋∞)上是减函数，

所以g(x)2max＝g(1)＝1－1＝1．

因此a>1，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．

(2)f(x)<0⇔x2＋ax－2<0，又x>1，

所以2x－x>a，x∈(1，＋∞)，

设g(x)＝2x－x(x∈(1，＋∞))，

依题意得g(x)>a在(1，＋∞)上有解，

从而g(x)max>a．

由g(x)在(1，＋∞)上是减函数，

所以g(x)

因此a<1，

故实数a的取值范围是(－∞，1)．

1．已知命题p：∀x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为(

) A．﹁p：∃x0∈R，x0＜sin x0

B．﹁p：∀x∈R，x≤sin x

C．﹁p：∃x0∈R，x0≤sin x0

D．﹁p：∀x∈R，x＜sin x

答案：C 2．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为(

A．存在一个三角形，内角和等于180°

B．所有三角形，内角和都等于180°

C．所有三角形，内角和都不等于180°

D．很多三角形，内角和不等于180°

答案：B )

3．命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2＞0”的否定为__________________．

答案：存在实数x0，使得x20－2x0＋2≤0 4．写出下列命题的否定：

(1)可以被5整除的数，末位是0；

(2)能被3整除的数，也能被4整除．

解：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0．

(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．

知识结构

深化拓展

1．对含有一个量词的命题的否定要注意的问题

(1)弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的关键．

(2)注意命题的否定与否命题的区别．

(3)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假．当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真．

2．“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析

(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．

(2)与一般命题的否定相同，对含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．

[学生用书P97(单独成册)]) [A

基础达标] 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(

) A．∀x∈R，|x|＋x2<0

C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0 解析：选C．命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”．故选C．

2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(

) A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆

B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆

C．所有四边形的四个顶点共圆

D．所有四边形的四个顶点都不共圆

解析：选A．根据全称命题的否定是特称命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A．

3．下列命题中，真命题是(

) A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数

D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

解析：选A．当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数”是真命题．

4．已知命题p：“∀x∈R，ex＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0－2＞x20”，则(

) A．命题p∨q是假命题

B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧(﹁q)是真命题

D．命题p∨(﹁q)是假命题

解析：选C．命题p：“∀x∈R，ex＞0”是真命题，

命题q：“∃x0∈R，x0－2＞x20”，

即x20－x0＋2＜0，

17x0－＋＜0，显然是假命题，

即24所以p∨q真，p∧q假，p∧(﹁q)真，p∨(﹁q)真．故选C．

35．(2018·湖南岳阳一中月考)已知命题p：∀x∈R，2x<3x，命题q：∃x0∈R，x0＝1－x20，2则下列命题为真命题的是(

) A．p∧q

C．p∧(﹁q)

B．(﹁p)∧q

D．(﹁p)∧(﹁q) 解析：选B．由20＝30，知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，所以方程x3＋x2－1＝0在(0，1)内有解，所以q为真命题，所以(﹁p)∧q为真命题，故选B．

6．命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是________．

解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”．

答案：有些长方体不是四棱柱

7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．

解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 8．若∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，则a的取值范围为________．

2解析：∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，即对∀x∈R，x－ax＋1>0为真命题．

需Δ＝(－a)2－4<0，即a2－4<0，

解得－2

答案：(－2，2) 9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：

(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；

(2)∃x0，y0∈Z，3x0－4y0＝20；

(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．

解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0．

(2)真命题．命题的否定为：∀x，y∈Z，3x－4y≠20．

(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．

10．设命题p：∀x∈R，x2＋x>a；命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，如果命题p真且命题q假，求a的取值范围．

1解：因为命题p为真命题，所以∀x∈R，x2＋x>a成立．因为(x2＋x)min＝－，

41所以a<－．

4因为命题q为假命题，所以∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，

所以4a2－4×(2－a)<0⇒a2＋a－2<0⇒－2

1所以a的取值范围是－2

4[B

能力提升] 11．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“∃x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，使得f(x1)＞f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是(

) A．a≥0

C．b≤0

B．a＜0 D．b＞1

解析：选B．函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．

由图可知f(x)在(－∞，0]上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，

所以要满足∃x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，

使得f(x1)＞f(x2)为真命题，则必有a＜0，故选B．

112．若∃x∈R，x＋＝m，则实数m的取值范围是________．

x1解析：依题意得，关于x的方程x＋＝m有实数解，

x1设f(x)＝x＋，

x由基本不等式得当x>0时，f(x)≥2，

当x<0时，f(x)≤－2，

故f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，

故实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 13．已知命题p：不等式2x－x2

解：2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以p真时，m>1．

由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，

所以q真时m≤－1或m≥3．

因为“﹁p”与“p∧q”同时为假命题，

m>1，所以p为真命题，q为假命题，所以

－1

14．(选做题)已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立．

(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．

解：(1)对任意x∈[0，1]，

不等式2x－2≥m2－3m恒成立，

令f(x)＝2x－2(x∈[0，1])，

则f(x)min≥m2－3m，

当x∈[0，1]时，f(x)min＝f(0)＝－2，

即m2－3m≤－2，

解得1≤m≤2．

因此，当p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．

(2)当a＝1时，若q为真命题，则存在x∈[－1，1]，使得m≤x成立，

所以m≤1．

因此，命题q为真时，m≤1．

因为p且q为假命题，p或q为真命题，

所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．

1≤m≤2，当p真q假时，由得1

m>1m<1或m>2，当p假q真时，由得m<1．

m≤1综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．