3.1.3 空间向量的数量积运算教案推荐

3．1．3空间向量的数量积运算教学设计

整体设计

教材分析

本书课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量积解决问题的基本方法。

通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难，用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

课时分配

1课时

教学目标

知识与技能

1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算；

3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

过程与方法

1、运用类比方法，经历向量的数量运算由平面向空间推广的过程；

2、引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算和意义。

情感、态度与价值观

1、培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

2、培养学生空间向量的应用意识。

重点难点

教学重点：

1、空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；

2、空间抽量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用。

教学难点：

宿松中学

数学组

朱兰英

1、空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；

2、空间向量的数量积运算及其几何应用和理解。

教学过程

引入新课

提出问题：已知在正方体ABCD—A´B´C´D´中，

E为AA´的中点，点F在线段D´C´上，

D´F=1FC´，如何确定BE，FD

的夹角？

2活动设计：

教师设问：平面向量的夹角是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？

学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式。

设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此做一番类比猜想，起到温故知新的作用。

探究新知

提出问题：1、空间向量的夹角应该怎样定义，怎样表示？夹角的取值范围是什么，怎样定义向量垂直？

活动设计：教师指导学生回忆平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围，并进行类比；学生回忆平面向量夹角的定义；表示方法和取值范围，并进行类比得到结论。

一、两个向量的夹角

两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]

二、两个向量的数量积

注意：

(1)两个向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．

(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，因此我们书写向量的数量积时，只能用符号a·b，而不能用a×b，也不能用ab．

三、空间两个向量的数量积的性质

(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质

(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求

两个向量的夹角．

(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据

在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．

已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．

证明：

四、空间向量数量积的运算律

与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：

向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(a•b)c一定等于a(b·c)吗? 已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．

若(a+b)⊥(2a-b)，(a-2b)⊥(2a+b)．

试求cos

例2 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图，PO,PA分别是平面α的垂线，

斜线,AO是PA在平面α内的射影，

OαlPl,且lOA,求证:lPA.

证明：如图，在直线l上取向量a,同时取向量PO,OA.

POl因为lOA,所以aOA0.

因为PO,且l,所以lPO,因此aPO0所以lPA.α

又因为aPAa(POOA)aPOaOA0

例3

如图，m,n是平面α内的两条相交直线。如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α

zl证明：在内作任一直线g,分别在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.gmln

因为m与n相交，所以向量m,n不平行。由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对(x,y),使gxmyn.nαmg所以lg0所以lg

即lg这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以l将上式两边与向量l作数量积，得lgxlmyln.

因为lm0,ln0

五、三垂线定理及其逆定理

(1)相关概念

①正射影：已知平面a和一点A，过点A作a的垂线l与a 相交于点A’，则A’就是点A在平面a内的正射影，简称射影。

②斜线：如果一条直线AB和平面a相交点B，但不和a垂直，那么直线AB叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点B叫做斜足，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB。

(2)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

(3)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

(1)三垂线定理及其逆定理中都出现了四条线AB，AC，BC，l，定理中所描述的是AC(斜线)、BC(射影)、l(面内的直线)之间的关系．

在三垂线定理及其逆定理中，涉及上面四条线，三个垂直关系

①垂线AB和平面a垂直；

②射影BC和直线l垂直；

③斜线AC和直线l垂直，所以定理称为“三垂线定

(2)两个定理的区别

①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直推出

线与斜线垂直”，逆定理相反．

②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直推出

异面直线垂直”，逆定理相反．

(3)利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图

形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”．

(4)三垂线正逆定理是立体几何中重要定理，

是共面两直线的垂直关系与空间两直线的

垂直关系之间相互转化的判定定理，

它的实质是通过线线垂直得到线面垂直

又转化为线线垂直，它是证线线垂直的重要方法，

它的用途是在作图中，作二面角的平面角；

在证题中，证线线垂直；在计算中，用归面法归拢已知条件便于计算．

在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．