3.1.1 变化率问题教学目标设计

《3.1.1变化率问题》的导学案

学习目标：

1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

重点难点：

1.重点：函数平均变化率的概念。

2.难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。

使用说明：

1.预习教材P72---P74 ,使用红色笔画出疑惑之处，并在规定的时间内尝试完成下列问题，总结规律方法；

2.用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；

3.不标志的为C级，标志★为B级，标志★★为A级。

学习过程：

（一）、旧新探究

1、物理学的速度v；

....................................2、（★）如果物体在时间t1内行驶路程为S1 , 在t2时间内行驶路程为S2，那么t1到 t2这段时间内物体的平均速度v间t的函数S=(t),此时的平均速度v...............................；如果路程S是关于时；平均速度v的大小，...............................说明物体在这段时间内 。

（二）、问题探究

问题1

高台跳水

人们发现，在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度

(单位:m)与起跳后的时间

(单位:s) 存在函数关系h(t)4.9t26.5t10，如果用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态, 那么：

（1）在

（2）在

（3）（★）在t1tt2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

这段时间里,运动员的平均速度为多少？

分析：把tt2t1叫做自变量的改变量，hh(t2)h(t1)叫做函数值的改变量

则平均速度v...............................

问题2

气球膨胀率

大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学角度，如何描述这种现象呢? 分析：

（1）在气球膨胀这一过程中，有哪几个量在发生变化，这些量之间有怎样的函数关系？(气球的半径随着空气容量即体积的变化而变化)

（2）

“气球的半径增加得越来越慢”，

从数学角度分析也就是气球的膨胀率越来越小（气球的平均膨胀率=半径的改变量），

体积的改变量计算：①当0v1时，气球的平均膨胀率=②当1v2时，气球的平均膨胀率=

.......................................

.......................................

.......................................③（★）当v1vv2时，气球的平均膨胀率=（三）、原理形成

1、以上两个问题有什么共同特征？

（平均速度、气球平均膨胀率都是关于实际问题中函数的函数值改变量与对应的自变量的改变量的比值）

2、对于一般函数yf(x)，函数的函数值改变量与对应的自变量的改变量的比值，就是这个函数的平均变化率：

定义（★★）：一般地,函数yf(x)

中，式子f(x2)f(x1)称为函数f(x)从x2x1x1到x1的平均变化率。其中令xx2x1，yf(x2)f(x1)，则f(x2)f(x1)y。

x2x1x65这段时间里的平均速度，并思考下面的49问题：①运动员在这段时间里是静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究：在问题1计算运动员在0t

思考：观察函数yf(x)的图像，平均变化率（平均变化率的几何意义）

y yf(x2)f(x1)，表示什么？xx2x1f(x2) f(x1) f(x2)- f(x1) x1

x2-x1

x2

x

(四)总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

（五）目标检测设计

（1）课本第79页习题3.1A组:1、2 （2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》

（3）备选作业：已知函数，求的值：