2.2.4 平面与平面平行的性质优质课教案

两个平面平行的判定和性质（一）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．两个平面平行的定义．

2．两个平面的位置关系及画法．

3．两个平面平行的判定．

（二）能力训练点

1．理解并掌握两个平面平行的定义．

2．掌握两个平面的位置关系应用了类比的方法，体现了分类的数学思维方法．

3．会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力．

4．掌握两个平面的判定定理的证明，进一步培养学生严密的逻辑思维能力．

（三）德育渗透点

让学生认识研究两个平面的位置关系以及掌握和应用两个平面平行的判定是实际生产的需要，体现了理论联系实践的原则，并更好地培养学生分析问题与解决问题的能力．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：掌握两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定．

2．教学难点：掌握两个平面平行的判定定理的证明及其应用．

3．教学疑点：正确理解并应用两个平面平行的判定定理时，要注意定理中的关键词：相交．

三、课时安排

1．12两个平面的位置关系及1．13两个平面平行的判定和性质这两个课题调整安排为2课时．本节课为第一课时，主要讲解两个平面的位置关系及两个平面平行的判定．

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四、教与学过程设计

（一）两个平面的位置关系

师：让我们一起来观察：教室的正面和背面、左面和右面的墙面有没有公共点？教室的正面和侧面的墙面呢？思考问题：两个平面的位置关系可分为几种情况？

学生通过直观观察得出结论：两种，平行或相交．

师：什么是平行的平面？

生：两个平面没有公共点叫做两个平面互相平行．

师：能否再举出一些两个平面平行和相交的实例？（P．35中练习1．）

学生自由回答，教师点评．

师：从上面的例子，我们知道：两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可从有无公共点来区分．若两个平面有不共线的两个公共点，则由公理3可知这两个平面必然重合为一个平面；若两个平面有一个公共点，则由公理2可知这两个平面相交于过这个点的一条直线；若两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行．由此得出不重合的两个平面的位置关系：

两个平面平行——没有公共点；

两个平面相交——有一条公共直线（至少有一个公共点）．

师：那么如何画出并表示两个平行平面和两个相交平面呢？

师边画边答：

画两个平行平面的要点是：表示平面的平行四边形的对应边相互平行．如图1—102．

画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段．成图时注意不相交的直线相互平行且等长，不可见的部分画虚线或不画．如图1—103．

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学生练习（P．35中练习2）：画两个平行平面和分别在这两个平面内的两条平行直线，再画一个经过这两条平行直线的平面．

如图1—104，α∥β，a∥b，a＜α，b＜β，a＜γ，b＜γ．

（二）两个平面平行的判定

师：根据前一小节平面平行的定义，我们来判断两个互逆命题的正误，并说明理由（幻灯显示）．

命题1．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．

命题2．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行．

生：命题1是正确的．因为在这些直线中如果有一条和另一个平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点．那么这两个平面就不可能平行了．

命题2也是正确的．因为如果这两个平面有公共点，那么在另一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．

师：通过上面的讨论我们知道：两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题．实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

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师：我们知道，一个定理只有经过证明才能说明它的正确性并直接应用，下面我们来证明这个定理．

已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．

求证：β∥α．

师分析：要证明这个定理，先思考几个问题（提出问题并启发学生得出结论）（幻灯显示）．

问题1：如果平面α与平面β不平行，那么它们的位置关系怎样？（相交）．

问题2：若平面α与平面β相交，那么交线与平行于平面α的直线a和b各有什么关系？（平行）．

问题3：相交直线a和b都与交线平行合理吗？（不合理，与平行公理矛盾）．

师：总结得出证明定理应该根据定义，利用反证法，让学生写出它的证明过程．

证明：假设α∩β＝c．

a∥α，a∩β，

a∥c，同理b∥c．

a∥b，这与题设a与b相交矛盾

α∥β．

师：在实际生活中，也经常利用这个判定定理判断两个平面平行．如在判断一个平面是否水平时，把水准器放在这个平面上交叉放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行．

下面请同学们完成例1和练习．

（三）练习

例1

垂直于同一直线的两个平面平行．

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已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，

求证：α∥β．

师提示：要证明两个平面平行，有两种方法：一是利用定义；二是利用判定定理，也是较常用的一种方法．因此利用判定定理证明例1的关键是：如何构造一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面？

证明：设经过直线AA＇的两个平面γ，δ分别与平面α、β交于直线a，a＇和b，b＇．

∵AA＇⊥α，AA＇⊥β，

∴AA⊥a，AA＇⊥a＇，

∴a‖a＇，则a＇∥α．

同理，b＇∥α．

又∵a＇∩b＇＝ A＇

∴α∥β．

师：这个例题的结论可与定理“垂直于同一平面的两条直线平行”联系起来记忆，也可作为判定两个平面平行的一种方法．

练习：判断下列命题的正误（幻灯显示）．

1．垂直于同一直线的两直线平行．

2．分别在两个平行平面内的两条直线都平行（P．37中练习1）．

3．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（P．38中练习2<1>）．

4．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（P．38中练习2<2>）．

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答：1．错，这两条直线还可能相交或异面．

2．错，这两条直线还可能异面，但不会相交．

3．错，反例如图1—107．

4．对．

（四）总结

本节课我们学***面平行的定义；两个平面的位置关系：平行或相交；两个平面平行的判定．掌握两个平面平行的判定的研究可以转化为线线平行、线面平行的研究．

五、作业

P．38中习题五1、2、3．

补充：1．a、b为异面直线，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β．

求证：α∥β．

θ2，∠AOD＝θ3．

求证：cos·θ3＝cosθ1·cosθ2．

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