2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教案板书设计

空间中直线与平面之间的位置关系

【教学目标】

1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 【重点难点】

正确判定直线与平面的位置关系. 【课时安排】

1课时

【教学过程】

导入新课

观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？

图1 推进新课

新知探究

提出问题

①什么叫做直线在平面内？

②什么叫做直线与平面相交?

③什么叫做直线与平面平行?

④直线在平面外包括哪几种情况?

⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.

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活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤

直线在平面内

aα

直线与平面相交

a∩α=A

直线与平面平行

应用示例

a∥α

例1

下列命题中正确的个数是(

) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0

B.1

C.2

D.3 分析：如图2,

图2

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我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；

l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B 变式训练

请讨论下列问题：

若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例2

已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.

求证：l与a、b、c共面. 证明：如图4,∵a∥b,

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图4 ∴a、b确定一个平面，设为α.

∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.

同理b、c确定一个平面β，lβ,

∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面. 变式训练

已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，

求证：PQα.

证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.

∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa, 由推论1：过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQα.

点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 拓展提升

过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图5, C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 如图6,

图5

图6

图7 显然，平面PQ是符合要求的平面.

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(2)如图7,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 课堂小结

本节主要学***面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点.

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业

课本习题2.1

A组7、8.

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