1.1.3 四种命题间的相互关系教学实录及点评

1.1.3四种命题间的相互关系

教学目标

1.知识与技能

了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式及其关系；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假；能利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

重点难点

重点：四种命题之间相互的关系．

难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

教学流程

创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒⇒⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.通过例1及其互动探究，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.通过例2及其变式训练，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒探究四种命题的真假关系，完成例3及其变式训练，从而解决等价命题相互转化在判断命题真假时的应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

一、自主学习及点拨

（一）【问题导思】

观察下面四个命题：

⇒

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

命题(1)与其他三个命题条件与结论之间有什么关系？

【提示】

命题(1)(2)的条件与结论互换；

命题(1)(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定．

命题(1)(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定．

1．逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．

2．否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若綈p，则綈q”．

3．逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若綈q，则綈p”. （二）【问题导思】

1．根据以上定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？

【提示】

命题(1)是原命题的逆命题；命题(3)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的否命题．

2．如果把命题(3)称为原命题呢？

【提示】

命题(1)是原命题的否命题；命题(2)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的逆命题．

（三）【问题导思】

1．你能判断知识1中四个命题的真假吗？

【提示】

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．互为逆否命题的真假性有无联系？

【提示】

有(可以再举一些实例验证)．

1．两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 二、互动探究

例1.

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 【思路探究】

原命题――→“若p则q”―→分清p、q――→写出表示由定义逆命题、否命

题、逆否命题【自主解答】

(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2. 归纳：

1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式，并写出条件和结论的否定：

①“换位”得到“若q，则p”为逆命题；

②“换质”(分别否定)得到“若綈p，则綈q”为否命题；

③“换位”又“换质”得到“若綈q，则綈p”为逆否命题．

2．命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的．

变式训练：

把本例中的命题改为以下命题后，请写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等．

(2)负数的平方是正数．

【解】

(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．

否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 例2.

下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

B．①③ C．②③

D．①

【思路探究】

(1)你能直接改写命题并判断真假吗？

(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？

【自主解答】

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．

③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程x2＋x－m＝0无实根，

1∴判别式Δ＝1＋4m<0，m<－，

4故m≤0，为真命题．

所以正确的命题是①③.【答案】

B

归纳

1．一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

2.四种命题的真假性之间的关系：①两个命题是互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题是互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；③四种命题为真命题的个数只能为0,2,4个．

变式训练：

命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【解析】

原命题与逆否命题为真命题；逆命题与否命题为假．

【答案】

B 例3.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．

【思路探究】

(1)你能写出此命题的逆否命题并判断其真假吗？(2)直接判断此命题的真假可以吗？

【自主解答】

法一

原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．

判断真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

∵a≥2，∴4a－7＞0，

即抛物线与x轴有交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．

法二

先判断原命题的真假如下：

∵a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.

7∴a＜＜2. 4∴原命题是真命题．

∵互为逆否命题的两个命题同真同假，∴原命题的逆否命题为真命题．

归纳：

由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当直接证明一个命题是真命题不容易证明时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立．

变式训练：

判断命题“若x2＋x－2m＝0无实根，则m≤0”的真假，并证明你的结论．

【解】

真命题．证明如下：

该命题的逆否命题为“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”．

∵m＞0，∴Δ＝1＋8m＞0. ∴方程x2＋x－2m＝0有实根．

∴“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”为真命题．

又∵原命题和它的逆否命题同真同假．

∴“若x＋x－2m＝0无实根，则m≤0”为真命题.

（三）小结

1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后

(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．

2．四种命题的真假判断

原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).

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