1.4.3 含有一个量词的命题的否定主要内容及教案内容

1.4

全称量词与存在量词

1.4.1

全称量词

1.4.2

存在量词

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．全称量词与全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．

2．存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．

思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．

(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．

[提示]

(1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax0＋2x0＋1＝0”

(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．

3．含有一个量词的命题的否定

2

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)；

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( ) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( ) ∈(3)命题：∀x∈R，x－3x＋3>0的否定是∀x /R，x2－3x＋3≤0.( ) 2[答案]

(1)√

(2)×

(3)×

2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“﹁p”形式的命题是( ) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根

[答案]

C

3．下列四个命题中的真命题为( )

A．∃x0∈Z,1<4x0<3 B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0 17D

[当x∈R时，x＋x＋2＝2＋4>0，故选D.] 2

[合

作

探

究·攻

重

难] 全称命题和特称命题的概念及真假判断

指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．

(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

1(2)存在一个x0∈R，使x0－1＝0；

(3)能被5整除的整数末位数是0；

(4)有一个角α，使sin α>1 [解]

(1)是全称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．

(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使x0－1＝0成立，所以该命题是假命题．

(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．

(4)是特称命题，因为∀α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．

[规律方法]

1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法

(1)分析命题中是否含有量词；

(2)分析量词是全称量词还是存在量词；

(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．

2．全称命题与特称命题真假的判断方法

(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．

(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

[跟踪训练] 1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使x>2 B

[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中1对于任一个负数x，都有x<0，所以D是假命题．] 11

(2)下列命题中，真命题是( )

πA．∃x∈2，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈，π，tan x>sin x

B

[(1)对于选项A，

πsin x＋cos x＝sin4≤，∴此命题不成立；

π对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；

对于选项C，x2＋x＋1＝2＋4>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；

π对于选项D，当x∈，π时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选B.] 13含有一个量词的命题的否定

(1)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( ) A．∀x /R，x2≠x

B．∀x∈R，x2＝x

∈C．∃x /R，x2≠x

∈D．∃x∈R，x2＝x

(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：

①p：∀x∈R，x2－x＋4≥0；

②p：所有的正方形都是菱形；

3③p：至少有一个实数x0，使x0＋1＝0. 1[思路探究]

先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．

(1)[解析]

原命题的否定为∃x∈R，x2＝x，故选D.

[答案]

D 21(2)[解]

①p：∃x0∈R，x0－x0＋4<0，假命题．

﹁因为∀x∈R，x2－x＋4＝2≥0恒成立．

②﹁p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．

③﹁p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

因为x＝－1时，x3＋1＝0. [规律方法]

对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法

(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．

(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．

(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．

[跟踪训练] 2．(1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( ) A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x /(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．∃x0 /(0，＋∞)，ln x0＝x0－1 A

[特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.] (2)写出下列命题的否定，并判断其真假．

①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

2②q: 存在一个实数x0，使得x0＋x0＋1≤0；

∈∈11③r：等圆的面积相等，周长相等；

④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. [解]

①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实

数根”，其否定形式是﹁p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．

1注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－4时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p是真命题．

②这一命题的否定形式是﹁q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得﹁q是真命题．

③这一命题的否定形式是﹁r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r是假命题．

④这一命题的否定形式是﹁s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以﹁s是假命题. 由全称(特称)命题的真假确定参数的范围

[探究问题] 1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？

提示：先求﹁p，再求参数的取值范围．

2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？

提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．

(1)若命题p“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

(2)已知命题p：∃x∈R,9x－3x－a＝0，若命题p是真命题，求实数a的取值范围.

[思路探究]

(1)先求﹁p，再求参数的取值范围．

(2)令3x＝t，看作一元二次方程有解问题．

[解析]

(1)﹁p：∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题．

则Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2 [答案]

[－2，2] (2)设3x＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，

则9x－3x－a＝0⇔a＝(3x)2－3x⇔a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，

设f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)，

11则f(t)＝2－4，

11当t＝2时，f(t)min＝－4，

1则函数f(t)的值域是，＋∞，

所以实数a的取值范围是，＋∞. 母题探究：1.(变条件)若将本例题(2)条件“∃x∈R”，改为“∃x∈[0,1]”，其他不变，试求实数a的取值范围．

[解]

设3x＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3]．

a＝t2－t，

∵t2－t＝2－4，∴a＝t2－t在t∈[1,3]上单调递增．

∴t2－t∈. 即a的取值范围是. π2．(变条件)将本例题(2)换为“∀x∈4，tan x≤m是真命题”，试求m的最111小值．

[解]

由已知可得m≥tan x4恒成立．设f(x)＝tan x4，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f4＝tan 4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1. [规律方法]

应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型

(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决. (2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.

[当

堂

达

标·固

双

基] ππππ

1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( ) A．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 B．偶函数图象关于y轴对称

C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解

D．∀x∈N，x3＞x2

D

[A，C中命题是特称命题，故排除．B为省略量词的全称命题，且为真命题．D为全称命题．当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是假命题．] 2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( ) A．所有不能被2整除的数都是偶数

B．所有能被2整除的数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的数是偶数

D．存在一个能被2整除的数不是偶数

D

[全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．] 3．命题p：∃x0∈R，x0＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为﹁p：________.

特称命题

假

∀x∈R，x2＋2x＋5≥0

[命题p：∃x0∈R，x0＋2x0＋5＜0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．

命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.] 4．命题“∀x∈R，2x＋4>0”的否定是________．

∃x0∈R，2x0＋4≤0

[“∀x∈R，2x＋4>0”的否定是“∃x0∈R，2x0＋4<0或2x0＋4＝0”即∃x0∈R，2x0＋4≤0] 5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；

(1)对某些实数x，有2x＋1>0；

(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶函数；

(3)∃x0∈Q，x0＝3 [解]

(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题．

211111122

(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．

把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．

(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是特称命题．

由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．