1.4.1 全称量词课堂实录【3】

§1.4

全称量词与存在量词

1.4.1

全称量词

1.4.2

存在量词

学习目标

1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．

知识点一

全称量词、全称命题

思考

观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5. 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

答案

语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

梳理

(1)全称量词及全称命题的概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．

知识点二

存在量词、特称命题

思考

找出下列命题的共同特征，并判断其真假．

(1)存在x0∈R，x20≤0；

(2)有些三棱锥是正四面体．

答案

所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．

梳理

(1)存在量词及特称命题的要命

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．

(2)表示

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

(3)特称命题的真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√) (3)全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)

类型一

判断命题的类型

例1

将下列命题用“∀”或“∃”表示．

(1)实数的平方是非负数；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；

(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α. 考点

量词与命题

题点

全称(特称)命题的符号表示

解

(1)∀x∈R，x2≥0. (2)∃x0＜0，ax20＋2x0＋1＝0(a＜1)．

(3)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α. 反思与感悟

判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

跟踪训练1

判断下列命题是全称命题还是特称命题．

(1)梯形的对角线相等；

(2)存在一个四边形有外接圆；

(3)二次函数都存在零点；

(4)过两条平行线有且只有一个平面．

考点

量词与命题

题点

全称(存在)量词的识别

解

命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．

命题(2)为特称命题．

命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．

命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．

类型二

判断命题的真假

例2

判断下列命题的真假．

1(1)∀x∈R，x2－x＋1＞；

2(2)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；

(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；

(5)存在一个实数x0，使等式x20＋x0＋8＝0成立．

考点

特称(全称)命题的真假性判断

题点

特称(全称)命题真假的判断

11解

(1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋

221111x－2＋≥＞0，∴x2－x＋1＞恒成立．

＝2442ππ(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．

42(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．

(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．

(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．

反思与感悟

要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

跟踪训练2

判断下列命题的真假．

(1)有一些奇函数的图象过原点；

(2)∃x0∈R,2x20＋x0＋1<0；

(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤2. 考点

特称(全称)命题的真假性判断

题点

特称(全称)命题真假的判断

解

(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

(2)该命题是特称命题．

1277∵2x20＋x0＋1＝2x0＋4＋≥>0，

88∴不存在x0∈R，使2x20＋x0＋1<0.故该命题是假命题．

(3)该命题是全称命题．

πx＋≤2恒成立，

∵sin x＋cos x＝2sin4∴对任意实数x，sin x＋cos x≤2都成立，故该命题是真命题．

类型三

利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例3

已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．

(1)命题p(x)：x＋1>x；

(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；

(3)命题p(x)：sin x>cos x. 考点

全称命题的真假性判断

题点

恒成立求参数的取值范围

解

(1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R. (2)∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，

∴x>3或x<2. π5π(3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋

44反思与感悟

已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练3

已知命题p：“∃x0∈R，sin x0＜m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．

考点

简单逻辑联结词的综合应用

题点

由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解

由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．

因为“∃x0∈R，sin x0＜m”是真命题，所以m＞－1. 又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，

所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2. 综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).

1．下列命题中，是正确的全称命题的是(

) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等

C．∃x0，x20＝x0

D．对数函数在定义域上是单调函数

考点

全称量词与全称命题

题点

全称命题的识别

答案

D 2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(

) A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α

πB．存在实数x0，使sin x0＝

2C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

考点

特称命题的真假性判断

题点

特称命题真假的判断

答案

A 3．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)＞0”用“∃”或“∀”可表述为____________．

考点

存在量词与特称命题

题点

特称命题的符号表示

答案

∃x0＜0，(1＋x0)(1－9x0)＞0 4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．

(1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；

(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；

11(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．

32考点

量词与命题

题点

全称(特称)命题的符号表示

解

(1)∀x∈R，x2＋x＋1＞0；真命题．

(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．

(3)∃x0，y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命题．

11(4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．

32

利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧

(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．

(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．